Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(i) ;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida em partes, ou seja, ela tem expressões diferentes dependendo do valor de . O domínio da função é , que significa que pode ser qualquer número real. Precisamos identificar a imagem dessa função, que é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir, e também esboçar o gráfico dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente. A função está definida da seguinte forma:
Isso significa que:
  • Para valores de menores ou iguais a 1, a função retorna o próprio valor de .
  • Para valores de maiores que 1, a função retorna .

Passo 3

Vamos determinar a imagem da primeira parte da função: para .
Como pode ser qualquer número real menor ou igual a 1, o valor de também pode ser qualquer número real menor ou igual a 1. Portanto, a imagem dessa parte é:

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda parte da fun��ão: para .
Para encontrar a imagem dessa parte, observamos que, conforme aumenta, também aumenta. Quando , temos:
Mas como essa parte é válida somente para , os valores de serão maiores que 1. Assim, a imagem dessa parte é:

Passo 5

Agora, vamos combinar as imagens das duas partes da função. A primeira parte cobre todos os valores menores ou iguais a 1, e a segunda parte cobre todos os valores maiores que 1. Juntas, elas abrangem todos os números reais. Portanto, a imagem total da função é:
ú

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função:
  1. Para : A função é , que é uma reta com inclinação 1 passando pela origem.
  2. Para : A função é , que é uma reta com inclinação 2 e intercepto em -1.
As duas retas se encontram no ponto onde , já que ambas dão , garantindo que o gráfico seja contínuo nesse ponto.

Resposta

A imagem da função é , ou seja, todos os números reais. O gráfico é composto por duas retas: para , a reta , e para , a reta , que se encontram no ponto .

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Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(d) ;
Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(a) ;
Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(l) ;
Mostre que se , com então se se e .