Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(i) ;
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida em partes, ou seja, ela tem expressões diferentes dependendo do valor de . O domínio da função é , que significa que pode ser qualquer número real. Precisamos identificar a imagem dessa função, que é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir, e também esboçar o gráfico dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente. A função está definida da seguinte forma:
Isso significa que:
Para valores de menores ou iguais a 1, a função retorna o próprio valor de .
Para valores de maiores que 1, a função retorna .
Passo 3
Vamos determinar a imagem da primeira parte da função: para .
Como pode ser qualquer número real menor ou igual a 1, o valor de também pode ser qualquer número real menor ou igual a 1. Portanto, a imagem dessa parte é:
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda parte da fun��ão: para .
Para encontrar a imagem dessa parte, observamos que, conforme aumenta, também aumenta. Quando , temos:
Mas como essa parte é válida somente para , os valores de serão maiores que 1. Assim, a imagem dessa parte é:
Passo 5
Agora, vamos combinar as imagens das duas partes da função. A primeira parte cobre todos os valores menores ou iguais a 1, e a segunda parte cobre todos os valores maiores que 1. Juntas, elas abrangem todos os números reais. Portanto, a imagem total da função é:
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função:
Para : A função é , que é uma reta com inclinação 1 passando pela origem.
Para : A função é , que é uma reta com inclinação 2 e intercepto em -1.
As duas retas se encontram no ponto onde , já que ambas dão , garantindo que o gráfico seja contínuo nesse ponto.
Resposta
A imagem da função é , ou seja, todos os números reais. O gráfico é composto por duas retas: para , a reta , e para , a reta , que se encontram no ponto .