Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(l) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar a imagem e esboçar o gráfico da função dada, que é uma função definida por partes. Vamos precisar entender cada pedaço da função, verificar quais valores ela pode assumir (a imagem) e depois desenhar o gráfico completo juntando tudo. A matéria envolvida aqui é Funções e suas Representações Gráficas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função está definida. Ela está dividida em quatro partes, cada uma válida para um intervalo específico de . Vamos analisar cada pedaço separadamente:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem de cada pedaço. A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir.
  1. Para :
    Como vai até , vai até . Então, vai de (quando ) até .
  2. Para :
    Aqui, é sempre , então a imagem é apenas .
  3. Para :
    Quando , . Quando , . Então, varia de a .
  4. Para :
    Conforme aumenta, também aumenta sem limites. Logo, vai de (quando ) até .

Passo 4

Agora, vamos juntar todas as partes para encontrar a imagem total da função. Observando cada intervalo:
  • De a : vai de até .
  • Em : .
  • De a : vai de a .
  • Acima de : vai de a .
Unindo todos esses valores, percebemos que alguns valores são repetidos ou não possíveis. Por exemplo, entre e , não há função definida. Então, a imagem total é:

Passo 5

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função. Para isso, plotamos cada pedaço no seu respectivo intervalo de :
  1. : Reta com inclinação negativa, começando em e indo para cima.
  2. : Linha horizontal em .
  3. : Reta decrescente de até .
  4. : Reta crescente começando em e indo para cima.

Resposta

A imagem da função é . O gráfico é composto por:
  • Uma reta decrescente para ,
  • Uma linha horizontal em para ,
  • Uma reta decrescente de a ,
  • E uma reta crescente a partir de .

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Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(i) ;
Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(d) ;
Mostre que se , com então se se e .
Determine o domínio maximal das funções abaixo:
© ;