Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(l) ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar a imagem e esboçar o gráfico da função dada, que é uma função definida por partes. Vamos precisar entender cada pedaço da função, verificar quais valores ela pode assumir (a imagem) e depois desenhar o gráfico completo juntando tudo. A matéria envolvida aqui é Funções e suas Representações Gráficas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função está definida. Ela está dividida em quatro partes, cada uma válida para um intervalo específico de . Vamos analisar cada pedaço separadamente:
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem de cada pedaço. A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir.
Para :
Como vai até , vai até . Então, vai de (quando ) até .
Para :
Aqui, é sempre , então a imagem é apenas .
Para :
Quando , . Quando , . Então, varia de a .
Para :
Conforme aumenta, também aumenta sem limites. Logo, vai de (quando ) até .
Passo 4
Agora, vamos juntar todas as partes para encontrar a imagem total da função. Observando cada intervalo:
De a : vai de até .
Em : .
De a : vai de a .
Acima de : vai de a .
Unindo todos esses valores, percebemos que alguns valores são repetidos ou não possíveis. Por exemplo, entre e , não há função definida. Então, a imagem total é:
Passo 5
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função. Para isso, plotamos cada pedaço no seu respectivo intervalo de :
: Reta com inclinação negativa, começando em e indo para cima.