Mostre que se , com então se se e .

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido na questão. Temos a função linear , onde é um número negativo ( ). Precisamos demonstrar três coisas:
  1. quando .
  2. quando .
  3. .
Para resolver isso, vamos usar propriedades das funções lineares e resolver as inequações passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de que transforma em zero. Isso nos dará o ponto onde a função cruza o eixo .
Resolvendo para :
Esse ponto é importante porque divide o comportamento da função em duas partes: antes e depois desse valor de .

Passo 3

Agora, vamos analisar quando . Ou seja, queremos descobrir para quais valores de a função assume valores positivos.
Usando a inequação:
Isolando :
Mas lembrando que , quando multiplicamos ou dividimos uma inequação por um número negativo, o sinal da desigualdade se inverte. Portanto:
Então, quando .

Passo 4

Agora, vamos analisar quando . Queremos descobrir para quais valores de a função assume valores negativos.
Usando a inequação:
Isolando :
Novamente, como , invertemos o sinal da desigualdade ao dividir:
Portanto, quando .

Passo 5

Finalmente, vamos verificar o valor de em :
Portanto, .

Resposta

Demonstramos que para , com :
  • quando .
  • quando .
  • .

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Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(l) ;
Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(i) ;
Determine o domínio maximal das funções abaixo:
© ;
Esboce o gráfico das funções abaixo:
(f) ;