Mostre que se
, com
então
se
se
e
.
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido na questão. Temos a função linear
, onde
é um número negativo (
). Precisamos demonstrar três coisas:
-
quando . -
quando . -
.
Para resolver isso, vamos usar propriedades das funções lineares e resolver as inequações passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
que transforma
em zero. Isso nos dará o ponto onde a função cruza o eixo
.
Resolvendo para
:
Esse ponto é importante porque divide o comportamento da função em duas partes: antes e depois desse valor de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar quando
. Ou seja, queremos descobrir para quais valores de
a função assume valores positivos.
Usando a inequação:
Isolando
:
Mas lembrando que
, quando multiplicamos ou dividimos uma inequação por um número negativo, o sinal da desigualdade se inverte. Portanto:
Então,
quando
.
Passo 4
Agora, vamos analisar quando
. Queremos descobrir para quais valores de
a função assume valores negativos.
Usando a inequação:
Isolando
:
Novamente, como
, invertemos o sinal da desigualdade ao dividir:
Portanto,
quando
.
Passo 5
Finalmente, vamos verificar o valor de
em
:
Portanto,
.
Resposta
Demonstramos que para
, com
:
-
quando . -
quando . -
.
Exercícios relacionados
Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é
:
(l) ;
(l)
Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é
:
(i) ;
(i)
Determine o domínio maximal das funções abaixo:
© ;
©
Esboce o gráfico das funções abaixo:
(f) ;
(f)