Mostre que a reta dada pela intersecção dos planos e é paralela ao plano , e calcule a distância entre e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a reta , que é a interseção dos planos e , é paralela ao plano . Além disso, precisamos calcular a distância entre a reta e o plano .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especialmente sobre retas e planos no espaço, vetores normais, produto vetorial e fórmulas de distância entre ponto e plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a direção da reta . Como é a interseção dos planos e , a direção de é perpendicular aos vetores normais desses planos.
Os vetores normais dos planos são:
Para encontrar a direção da reta , vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores normais:
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial:
Podemos simplificar dividindo por -10:
Então, a direção da reta é .
Passo 4
Agora, vamos verificar se a reta é paralela ao plano .
Para isso, vamos observar que a reta é paralela ao plano se o vetor diretor da reta for ortogonal ao vetor normal do plano.
O vetor normal do plano é:
Vamos calcular o produto escalar entre e :
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais, o que significa que a reta é paralela ao plano .
Passo 5
Agora, precisamos calcular a distância entre a reta e o plano .
Primeiro, vamos encontrar um ponto qualquer que pertença à reta . Para isso, vamos resolver o sistema formado pelas equações dos planos e .
Temos:
Podemos resolver esse sistema escolhendo um valor para uma das variáveis. Vamos escolher .
Substituindo na equação (1):
E na equação (2):
Agora, vamos resolver o sistema e .
Multiplicamos a equação por 3:
Somando com a equação :
Substituindo na equação :
Portanto, um ponto na reta é .
Passo 6
Agora, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano. A fórmula é:
Onde é o ponto e é a equação do plano.
Para o plano , podemos reescrever como , então , , , e .
Substituindo o ponto :
Resposta
A reta é paralela ao plano e a distância entre e é unidades.