Mostre que a reta dada pela intersecção dos planos e é paralela ao plano , e calcule a distância entre e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a reta , que é a interseção dos planos e , é paralela ao plano . Além disso, precisamos calcular a distância entre a reta e o plano .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especialmente sobre retas e planos no espaço, vetores normais, produto vetorial e fórmulas de distância entre ponto e plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a direção da reta . Como é a interseção dos planos e , a direção de é perpendicular aos vetores normais desses planos.
Os vetores normais dos planos são:
Para encontrar a direção da reta , vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores normais:
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial:
v = i(2 - 12) - j(4 - (-16)) + k(-6 - 4)
v = i(-10) - j(20) + k(-10)
v = (-10, -20, -10)
Podemos simplificar dividindo por -10:
v = (1, 2, 1)
Então, a direção da reta é .
Passo 4
Agora, vamos verificar se a reta n3 = (1, -1, 1) é paralela ao plano v cdot n3 = 1 cdot 1 + 2 cdot (-1) + 1 cdot 1 = 1 - 2 + 1 = 0 .
Para isso, vamos observar que a reta é paralela ao plano se o vetor diretor da reta for ortogonal ao vetor normal do plano.
O vetor normal do plano é:
Vamos calcular o produto escalar entre e :
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais, o que significa que a reta é paralela ao plano .
Passo 5
Agora, precisamos calcular a distância entre a reta 2x + y - 4z = 2 (1) e o plano 4x - 3y + 2z = 4 (2) .
Primeiro, vamos encontrar um ponto qualquer que pertença à reta 2x + y = 2 (1a) . Para isso, vamos resolver o sistema formado pelas equações dos planos 4x - 3y = 4 (2a) e 6x + 3y = 6 (1b) .
Temos:
6x + 3y + 4x - 3y = 6 + 4
10x = 10 Rightarrow x = 1
Podemos resolver esse sistema escolhendo um valor para uma das variáveis. Vamos escolher 2(1) + y = 2 Rightarrow y = 0 .
Substituindo na equação (1):
E na equação (2):
Agora, vamos resolver o sistema e .
Multiplicamos a equação por 3:
Somando com a equação :
Substituindo na equação :
Portanto, um ponto na reta é .
Passo 6
Agora, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano. A fórmula é:
D = |ax0 + by0 + cz0 + d|raiza^2 + b^2 + c^2
Onde D = |1(1) + (-1)(0) + 1(0) - 2|raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = |1 - 0 + 0 - 2|raiz1 + 1 + 1 = 1raiz3 = raiz33 é o ponto e é a equação do plano.
Para o plano , podemos reescrever como , então , , , e .
Substituindo o ponto :
Resposta
A reta é paralela ao plano e a distância entre e é unidades.