Sejam
e
três bases ordenadas de
.
Ache
ii.
Ache
ii.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos três bases ordenadas de
:
O objetivo é encontrar a matriz de mudança de base
. Isso significa que queremos descobrir como representar os vetores da base
na base
.
Para resolver isso, precisamos entender o conceito de mudança de base e como expressar vetores de uma base em termos de outra.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que é a matriz de mudança de base
. Essa matriz nos mostra como transformar as coordenadas de um vetor na base
para as coordenadas na base
.
Isso é feito expressando cada vetor da base
como uma combinação linear dos vetores da base
. Cada combinação linear dará uma coluna da matriz de mudança de base.
Passo 3
Primeiro, vamos nomear os vetores das bases para facilitar:
-
Base
: -
-
Base
: -
Queremos expressar
e
como combinações lineares de
e
. Ou seja, encontrar escalares
e
tais que:
Passo 4
Vamos começar com
. Queremos encontrar
e
tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Portanto,
pode ser escrito como:
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para
. Queremos encontrar
e
tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Portanto,
pode ser escrito como:
Passo 6
Com as combinações lineares encontradas, podemos montar a matriz de mudança de base
colocando os coeficientes
e
como colunas:
Resposta
A matriz de mudança de base
é: