Sejam beta1=(1,0),(0,2), beta2=(-1,0),(1,1) e beta3=(-1,-1),(0,-1) três bases ordenadas de R^2.
Ache
ii. [I]beta2^beta3

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos três bases ordenadas de :
O objetivo é encontrar a matriz de mudança de base . Isso significa que queremos descobrir como representar os vetores da base na base .
Para resolver isso, precisamos entender o conceito de mudança de base e como expressar vetores de uma base em termos de outra.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que é a matriz de mudança de base . Essa matriz nos mostra como transformar as coordenadas de um vetor na base para as coordenadas na base .
Isso é feito expressando cada vetor da base como uma combinação linear dos vetores da base . Cada combinação linear dará uma coluna da matriz de mudança de base.

Passo 3

Primeiro, vamos nomear os vetores das bases para facilitar:
  • Base v = a cdot w1 + b cdot w2 :
  • Base :
Queremos expressar e como combinações lineares de e . Ou seja, encontrar escalares e tais que:

Passo 4

Vamos começar com (-1, 0) = a cdot (-1, -1) + b cdot (0, -1) . Queremos encontrar -1 = -a + 0 cdot b 0 = -a - b e -1 = -a implies a = 1 tais que:
0 = -1 - b implies b = -1
Isso nos dá o sistema de equações:
v1 = 1 cdot w1 - 1 cdot w2
Resolvendo a primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Portanto, pode ser escrito como:

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para (1, 1) = a cdot (-1, -1) + b cdot (0, -1) . Queremos encontrar 1 = -a + 0 cdot b 1 = -a - b e 1 = -a implies a = -1 tais que:
1 = 1 - b implies b = 0
Isso nos dá o sistema de equações:
v2 = -1 cdot w1 + 0 cdot w2
Resolvendo a primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Portanto, pode ser escrito como:

Passo 6

Com as combinações lineares encontradas, podemos montar a matriz de mudança de base [I]beta2^beta3 = 1 & -1 -1 & 0 colocando os coeficientes e como colunas:

Resposta

A matriz de mudança de base [I]beta2^beta3 = 1 & -1 -1 & 0 é:

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