Sejam e três bases ordenadas de .
Ache
ii.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos três bases ordenadas de :
O objetivo é encontrar a matriz de mudança de base . Isso significa que queremos descobrir como representar os vetores da base na base .
Para resolver isso, precisamos entender o conceito de mudança de base e como expressar vetores de uma base em termos de outra.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que é a matriz de mudança de base . Essa matriz nos mostra como transformar as coordenadas de um vetor na base para as coordenadas na base .
Isso é feito expressando cada vetor da base como uma combinação linear dos vetores da base . Cada combinação linear dará uma coluna da matriz de mudança de base.

Passo 3

Primeiro, vamos nomear os vetores das bases para facilitar:
  • Base :
  • Base :
Queremos expressar e como combinações lineares de e . Ou seja, encontrar escalares e tais que:

Passo 4

Vamos começar com . Queremos encontrar e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Portanto, pode ser escrito como:

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para . Queremos encontrar e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Portanto, pode ser escrito como:

Passo 6

Com as combinações lineares encontradas, podemos montar a matriz de mudança de base colocando os coeficientes e como colunas:

Resposta

A matriz de mudança de base é:

Exercícios relacionados

Mostre que a reta dada pela intersecção dos planos e é paralela ao plano , e calcule a distância entre e .
Responda ou , justificando:
(g) Cada conjunto de vetores linearmente independente em está contido em alguma base de .
Identifique a partir da equação geral cada uma das cônicas a seguir. E, em cada uma, identifique vértice(s) e foco(s), e centro, quando for o caso.
a)
b)
c)
Responda ou , justificando:
(i) Se tiver tamanho e forem matrizes distintas, então é linearmente independente.