Sejam
e
três bases ordenadas de
.
Ache
ii.
Ache
ii.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos três bases ordenadas de
:
O objetivo é encontrar a matriz de mudança de base
. Isso significa que queremos descobrir como representar os vetores da base
na base
.
Para resolver isso, precisamos entender o conceito de mudança de base e como expressar vetores de uma base em termos de outra.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que é a matriz de mudança de base
. Essa matriz nos mostra como transformar as coordenadas de um vetor na base
para as coordenadas na base
.
Isso é feito expressando cada vetor da base
como uma combinação linear dos vetores da base
. Cada combinação linear dará uma coluna da matriz de mudança de base.
Passo 3
Primeiro, vamos nomear os vetores das bases para facilitar:
-
Base
: -
-
Base
: -
Queremos expressar
e
como combinações lineares de
e
. Ou seja, encontrar escalares
e
tais que:
Passo 4
Vamos começar com
. Queremos encontrar
e
tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Portanto,
pode ser escrito como:
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para
. Queremos encontrar
e
tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Portanto,
pode ser escrito como:
Passo 6
Com as combinações lineares encontradas, podemos montar a matriz de mudança de base
colocando os coeficientes
e
como colunas:
Resposta
A matriz de mudança de base
é:
Exercícios relacionados
Mostre que a reta
dada pela intersecção dos planos
e
é paralela ao plano
, e calcule a distância entre
e
.
Responda
ou
, justificando:
(g) Cada conjunto de vetores linearmente independente em está contido em alguma base de
.
(g) Cada conjunto de vetores linearmente independente em
Identifique a partir da equação geral cada uma das cônicas a seguir. E, em cada uma, identifique vértice(s) e foco(s), e centro, quando for o caso.
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Responda
ou
, justificando:
(i) Se tiver tamanho
e
forem matrizes distintas, então
é linearmente independente.
(i) Se