Identifique as quádricas representada por cada uma das equações a seguir. Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar a quadrique representada pela equação
e depois construir o gráfico dela. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica que lidam com quadricas, que são superfícies definidas por equações de segundo grau em três dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual tipo de quadrique estamos lidando. A equação dada é
. Essa forma se assemelha à equação padrão de um paraboloide. Existem dois tipos principais de paraboloides: o paraboloide circular e o paraboloide elíptico. No nosso caso, como a equação envolve apenas
e
, estamos tratando de um paraboloide circular.
Passo 3
Para confirmar, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. A equação padrão de um paraboloide circular é:
Onde
é a distância do vértice ao foco. Comparando com a nossa equação
, vemos que
.
Passo 4
Agora, vamos entender o que isso significa geometricamente. Um paraboloide circular é uma superfície que tem a forma de um prato aberto para cima ou para baixo. No nosso caso, como o coeficiente de
é positivo, o paraboloide está aberto para cima.
Passo 5
Para construir o gráfico, vamos identificar alguns pontos chave. Sabemos que o vértice do paraboloide está na origem (0,0,0). O foco estará a uma unidade acima do vértice, ou seja, em (0,0,1). A direta principal, que é uma linha perpendicular à superfície que passa pelo foco, está alinhada com o eixo
.
Passo 6
Com essas informações, podemos desenhar o paraboloide. Ele se abre para cima, com o vértice na origem e simetria em relação ao eixo
. À medida que
aumenta, os valores de
se expandem de forma que
.
Resposta
A equação
representa um paraboloide circular aberto para cima. O gráfico dessa quadrique é uma superfície em forma de prato com vértice na origem (0,0,0) e foco em (0,0,1).
Gráfico
![Paraboloide Circular](https://i.imgur.com/yourimageurl.png)
Nota: Substitua o link pela imagem real do gráfico quando disponível.
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.
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,
e
.