Resolva a equação diferencial por variáveis separáveis d yd x=1+xx^2 y^2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial dydx = 1+xx^2 y^2. O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais, especificamente equações diferenciais de variáveis separáveis. Para resolver, precisamos separar as variáveis x e y em lados diferentes da equação e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. Queremos termos todas as expressões com y de um lado e com x do outro. Podemos multiplicar ambos os lados por y^2 dx para obter:
y^2 dy = 1+xx^2 dx

Passo 3

Agora, temos as variáveis separadas. Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a y e do lado direito em relação a x:
integral y^2 dy = integral 1+xx^2 dx

Passo 4

Vamos resolver as integrais.
Para o lado esquerdo:
integral y^2 dy = y^33 + C1
Aqui, usamos a regra básica de integração integral y^n dy = y^n+1n+1 + C.
Para o lado direito, primeiro simplificamos a fração:
1+xx^2 = 1x^2 + xx^2 = 1x^2 + 1x
Então,
integral ( 1x^2 + 1x ) dx = integral 1x^2 dx + integral 1x dx = -1x + ln|x| + C2
Aqui, usamos que integral x^-2 dx = -x^-1 + C e integral 1x dx = ln|x| + C.

Passo 5

Agora, igualamos as integrais:
y^33 + C1 = -1x + ln|x| + C2
Podemos combinar as constantes C1 e C2 em uma constante geral C:
y^33 = -1x + ln|x| + C

Passo 6

Finalmente, podemos resolver para y se quisermos deixar a solução explícita, mas geralmente essa forma implícita já é aceitável. Entretanto, podemos multiplicar tudo por 3 para simplificar:
y^3 = -3x + 3ln|x| + C'
Onde C' = 3C é apenas uma nova constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y^3 = -3x + 3ln|x| + C
onde C é uma constante de integração.

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