Resolva a equação diferencial por variáveis separáveis

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial . O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais, especificamente equações diferenciais de variáveis separáveis. Para resolver, precisamos separar as variáveis e em lados diferentes da equação e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. Queremos termos todas as expressões com de um lado e com do outro. Podemos multiplicar ambos os lados por para obter:

Passo 3

Agora, temos as variáveis separadas. Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a e do lado direito em relação a :

Passo 4

Vamos resolver as integrais. Para o lado esquerdo: Aqui, usamos a regra básica de integração . Para o lado direito, primeiro simplificamos a fração: Então, Aqui, usamos que e .

Passo 5

Agora, igualamos as integrais: Podemos combinar as constantes e em uma constante geral :

Passo 6

Finalmente, podemos resolver para se quisermos deixar a solução explícita, mas geralmente essa forma implícita já é aceitável. Entretanto, podemos multiplicar tudo por 3 para simplificar: Onde é apenas uma nova constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é: onde é uma constante de integração.

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