Resolva a equação diferencial por variáveis separáveis
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial
. O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais, especificamente equações diferenciais de variáveis separáveis. Para resolver, precisamos separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação e então integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. Queremos termos todas as expressões com
de um lado e com
do outro. Podemos multiplicar ambos os lados por
para obter:
Passo 3
Agora, temos as variáveis separadas. Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a
e do lado direito em relação a
:
Passo 4
Vamos resolver as integrais.
Para o lado esquerdo:
Aqui, usamos a regra básica de integração
.
Para o lado direito, primeiro simplificamos a fração:
Então,
Aqui, usamos que
e
.
Passo 5
Agora, igualamos as integrais:
Podemos combinar as constantes
e
em uma constante geral
:
Passo 6
Finalmente, podemos resolver para
se quisermos deixar a solução explícita, mas geralmente essa forma implícita já é aceitável. Entretanto, podemos multiplicar tudo por 3 para simplificar:
Onde
é apenas uma nova constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante de integração.