Identifique e resolva a equação d yd x-yx=x^2 sen 2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar e resolver a equação diferencial . Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar um fator integrante que facilite a resolução da equação.

Passo 2

Primeiro, observamos que a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear:
dydx + P(x) y = Q(x)
Comparando com a nossa equação:
Perceba que:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx , que é dado por:
mu(x) = e^integral -1x dx = e^ - ln|x| = |x|^-1
Substituindo mu(x) = 1x :
Como geralmente é positivo nas equações diferenciais, podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante 1x cdot dydx - 1x cdot yx = 1x cdot x^2 sen 2x :
Simplificando:

Passo 5

A equação agora deve ser escrita como a derivada de ddx ( yx ) = 1x dydx - yx^2 . Vamos verificar:
ddx ( yx ) = x sen 2x
Então, podemos escrever:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a integral ddx ( yx ) dx = integral x sen 2x , dx :
O lado esquerdo simplifica para:

Passo 7

Vamos resolver a integral usando integração por partes. Lembrando que:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos:
u = x Rightarrow du = dx
Aplicando a fórmula:
Integrando dv = sen 2x , dx Rightarrow v = -12 cos 2x :
Então:

Passo 8

Voltando à equação:
Multiplicamos ambos os lados por yx = -x2 cos 2x + 14 sen 2x + C para isolar y = x ( -x2 cos 2x + 14 sen 2x + C ) :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde y(x) = -x^22 cos 2x + x4 sen 2x + Cx é a constante de integração.

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