Identifique e resolva a equação

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar e resolver a equação diferencial . Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar um fator integrante que facilite a resolução da equação.

Passo 2

Primeiro, observamos que a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Comparando com a nossa equação:
Perceba que:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :
Como geralmente é positivo nas equações diferenciais, podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

A equação agora deve ser escrita como a derivada de . Vamos verificar:
Então, podemos escrever:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:

Passo 7

Vamos resolver a integral usando integração por partes. Lembrando que:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Integrando :
Então:

Passo 8

Voltando à equação:
Multiplicamos ambos os lados por para isolar :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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