Identifique e resolva a equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar e resolver a equação diferencial . Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar um fator integrante que facilite a resolução da equação.
Passo 2
Primeiro, observamos que a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Comparando com a nossa equação:
Perceba que:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Como
geralmente é positivo nas equações diferenciais, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
A equação agora deve ser escrita como a derivada de
. Vamos verificar:
Então, podemos escrever:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Passo 7
Vamos resolver a integral usando integração por partes. Lembrando que:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Integrando
:
Então:
Passo 8
Voltando à equação:
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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