Sabendo que
é solução da EDO
. Resolva o PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
. O que queremos é encontrar uma função
que satisfaça essa equação e que também atenda às condições iniciais fornecidas:
e
. Para isso, vamos usar o conhecimento sobre equações diferenciais lineares e encontrar os coeficientes que vão fazer tudo funcionar certinho.
Passo 2
Primeiro, observamos que a solução geral da equação diferencial dada já foi fornecida:
. Aqui,
e
são constantes que precisamos determinar usando as condições iniciais. Essa forma da solução vem da resolução da equação característica associada à EDO, que nesse caso tem raízes reais e distintas.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a primeira condição inicial:
. Substituindo
na solução geral:
Isso nos dá a primeira equação:
.
Passo 4
Em seguida, precisamos da derivada da solução geral para aplicar a segunda condição inicial. Vamos calcular
:
Agora, aplicamos a condição
:
Isso nos dá a segunda equação:
.
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações que encontramos:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução particular do problema é:
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