Sabendo que y=c1 e^x+c2 e^-x é solução da EDO y^prime prime-y=0. Resolva o PVI
y^prime prime-y=0, y(0)=1, y^prime(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma equação diferencial de segunda ordem: . O que queremos é encontrar uma função que satisfaça essa equação e que também atenda às condições iniciais fornecidas: e . Para isso, vamos usar o conhecimento sobre equações diferenciais lineares e encontrar os coeficientes que vão fazer tudo funcionar certinho.

Passo 2

Primeiro, observamos que a solução geral da equação diferencial dada já foi fornecida: . Aqui, e são constantes que precisamos determinar usando as condições iniciais. Essa forma da solução vem da resolução da equação característica associada à EDO, que nesse caso tem raízes reais e distintas.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a primeira condição inicial: y(0) = c1 e^0 + c2 e^0 = c1 + c2 = 1 . Substituindo na solução geral:
Isso nos dá a primeira equação: .

Passo 4

Em seguida, precisamos da derivada da solução geral para aplicar a segunda condição inicial. Vamos calcular y' = ddx(c1 e^x + c2 e^-x) = c1 e^x - c2 e^-x :
y'(0) = c1 e^0 - c2 e^0 = c1 - c2 = 2
Agora, aplicamos a condição :
Isso nos dá a segunda equação: .

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações que encontramos:
c1 + c2 = 1 c1 - c2 = 2
Somando as duas equações:
2c1 = 3 Rightarrow c1 = 32
Substituindo 32 + c2 = 1 Rightarrow c2 = 1 - 32 = -12 na primeira equação:

Resposta

A solução particular do problema é:
y = 32 e^x - 12 e^-x

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