Sabendo que é solução da EDO . Resolva o PVI

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma equação diferencial de segunda ordem: . O que queremos é encontrar uma função que satisfaça essa equação e que também atenda às condições iniciais fornecidas: e . Para isso, vamos usar o conhecimento sobre equações diferenciais lineares e encontrar os coeficientes que vão fazer tudo funcionar certinho.

Passo 2

Primeiro, observamos que a solução geral da equação diferencial dada já foi fornecida: . Aqui, e são constantes que precisamos determinar usando as condições iniciais. Essa forma da solução vem da resolução da equação característica associada à EDO, que nesse caso tem raízes reais e distintas.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a primeira condição inicial: . Substituindo na solução geral:
Isso nos dá a primeira equação: .

Passo 4

Em seguida, precisamos da derivada da solução geral para aplicar a segunda condição inicial. Vamos calcular :
Agora, aplicamos a condição :
Isso nos dá a segunda equação: .

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações que encontramos:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução particular do problema é:

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