Sejam e bases de e , respectivamente. Sabendo que , encontre uma base de tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas bases: para e para . Também sabemos a matriz de transformação linear . Nosso objetivo é encontrar uma nova base para que transforme a matriz de para uma forma mais simples: . Vamos usar conceitos de mudança de base e transformação linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que representa. Esta matriz descreve como a transformação age de para em relação às bases e . Ou seja, para cada vetor em escrito na base , a matriz nos dá como transforma esse vetor na base de .
Passo 3
Queremos encontrar uma base para tal que a matriz seja . Isso significa que na base , a transformação age de uma forma bem simples: ela mapeia o primeiro vetor de para o primeiro vetor de , ignora o segundo vetor de e mapeia o segundo vetor de para o terceiro vetor de .
Passo 4
Para encontrar a base , precisamos descobrir como os vetores de se relacionam com a base . Sabendo que está dada, podemos usar a relação de mudança de base. A nova matriz será relacionada à antiga matriz através de uma matriz de mudança de base , onde transforma de para .
Passo 5
A relação entre as matrizes é: . Queremos que . Então, precisamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 6
Vamos chamar a matriz de . Multiplicando pela matriz desejada:
Queremos que isso seja igual a . Então, temos:
Passo 7
Com essas equações, a matriz fica:
Agora precisamos definir os elementos . Como deve ser invertível (para que a mudança de base exista), podemos escolher valores que garantam isso. Para simplificar, vamos escolher , , e . Assim:
Passo 8
Agora, a base será composta pelas colunas de . Primeiro, vamos encontrar . Calculando o inverso de :