Sejam e bases de e , respectivamente. Sabendo que , encontre uma base de tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas bases: para e para . Também sabemos a matriz de transformação linear . Nosso objetivo é encontrar uma nova base para que transforme a matriz de para uma forma mais simples: . Vamos usar conceitos de mudança de base e transformação linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que representa. Esta matriz descreve como a transformação age de para em relação às bases e . Ou seja, para cada vetor em escrito na base , a matriz nos dá como transforma esse vetor na base de .

Passo 3

Queremos encontrar uma base para tal que a matriz seja . Isso significa que na base , a transformação age de uma forma bem simples: ela mapeia o primeiro vetor de para o primeiro vetor de , ignora o segundo vetor de e mapeia o segundo vetor de para o terceiro vetor de .

Passo 4

Para encontrar a base , precisamos descobrir como os vetores de se relacionam com a base . Sabendo que está dada, podemos usar a relação de mudança de base. A nova matriz será relacionada à antiga matriz através de uma matriz de mudança de base , onde transforma de para .

Passo 5

A relação entre as matrizes é: . Queremos que . Então, precisamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Vamos chamar a matriz de . Multiplicando pela matriz desejada:
Queremos que isso seja igual a . Então, temos:

Passo 7

Com essas equações, a matriz fica:
Agora precisamos definir os elementos . Como deve ser invertível (para que a mudança de base exista), podemos escolher valores que garantam isso. Para simplificar, vamos escolher , , e . Assim:

Passo 8

Agora, a base será composta pelas colunas de . Primeiro, vamos encontrar . Calculando o inverso de :
Portanto, as colunas de são:

Passo 9

Assim, a base que procuramos é:

Resposta

A base de desejada é:

Exercícios relacionados

Sejam e B é uma matriz não nula fixada em , quais das seguintes funçð̃es são lineares?
(a) .
Verifique quais destes subconjuntos são subespaços. Quando não for subespaço, indique indique a propriedade que não é satisfeita.
Relembrando: Dizemos que é um subespaço vetorial de se:
(S1) .
(S2) Se , então .
(S3) Se , então , para todo .
Determine o centro, os vértices e a extremidade da elipse de equação
Identifique os seguintes subconjuntos do plano .