Sejam A=(1,-1),(0,2) e B=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0) bases de R^2 e R^3, respectivamente. Sabendo que [T]B^A=(rr1 & 0 1 & 1 0 & -1), encontre uma base C de R^3 tal que [T]C^A=(ll1 & 0 0 & 0 0 & 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas bases: 1 & 0 0 & 0 0 & 1 para e para . Também sabemos a matriz de transformação linear . Nosso objetivo é encontrar uma nova base para que transforme a matriz de para uma forma mais simples: . Vamos usar conceitos de mudança de base e transformação linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que representa. Esta matriz descreve como a transformação age de para em relação às bases e . Ou seja, para cada vetor em escrito na base , a matriz nos dá como transforma esse vetor na base de .

Passo 3

Queremos encontrar uma base 1 & 0 0 & 0 0 & 1 para tal que a matriz seja . Isso significa que na base , a transformação age de uma forma bem simples: ela mapeia o primeiro vetor de para o primeiro vetor de , ignora o segundo vetor de e mapeia o segundo vetor de para o terceiro vetor de .

Passo 4

Para encontrar a base , precisamos descobrir como os vetores de se relacionam com a base . Sabendo que está dada, podemos usar a relação de mudança de base. A nova matriz será relacionada à antiga matriz através de uma matriz de mudança de base , onde transforma de para .

Passo 5

A relação entre as matrizes é: 1 & 0 0 & 0 0 & 1. Queremos que P^-1 [T]B^A = 1 & 0 0 & 0 0 & 1 . Então, precisamos resolver para [T]B^A = P 1 & 0 0 & 0 0 & 1 :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Vamos chamar a matriz p11 & p12 & p13 p21 & p22 & p23 p31 & p32 & p33 de P 1 & 0 0 & 0 0 & 1 = p11 & p13 p21 & p23 p31 & p33 . Multiplicando 1 & 0 1 & 1 0 & -1 pela matriz desejada:
p11 = 1 p13 = 0 p21 = 1 p23 = 1 p31 = 0 p33 = -1
Queremos que isso seja igual a . Então, temos:

Passo 7

Com essas equações, a matriz P = 1 & p12 & 0 1 & p22 & 1 0 & p32 & -1 fica:
P = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 0 & 0 & -1
Agora precisamos definir os elementos . Como deve ser invertível (para que a mudança de base exista), podemos escolher valores que garantam isso. Para simplificar, vamos escolher , , e . Assim:

Passo 8

Agora, a base P^-1 = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 1 0 & 0 & -1 será composta pelas colunas de c1 = 1 -1 0, c2 = 0 1 0, c3 = 0 1 -1 . Primeiro, vamos encontrar . Calculando o inverso de :
Portanto, as colunas de são:

Passo 9

Assim, a base C = 1 -1 0, 0 1 0, 0 1 -1 que procuramos é:

Resposta

A base C = 1 -1 0, 0 1 0, 0 1 -1 de desejada é:

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