Identifique o sólido cujo volume é dado pela expressão
e em seguida calcule .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos identificar o sólido cujo volume é dado pela integral dupla
Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas para calcular volumes de sólidos em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Para identificar o sólido , vamos analisar os limites de integração. O varia de 0 a 1, e para cada , varia de 0 a . Essa descrição corresponde a uma região no primeiro quadrante do plano que está abaixo da semicircunferência de raio 1 centrada na origem.
Passo 3
O integrando representa a altura do sólido em cada ponto dessa região. Portanto, é um sólido cuja base é a região descrita e cuja altura em cada ponto é .
Passo 4
Agora, vamos calcular o volume avaliando a integral dupla. Primeiro, integramos em relação a :
Passo 5
Em seguida, integramos o resultado em relação a :
Passo 6
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição trigonométrica. Seja , então , e .
Quando , ; quando , .
Substituindo na integral:
Passo 7
Expandimos a integral:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Aplicando os limites de integração:
Resposta
O volume do sólido é .
Exercícios relacionados
Calcule , sendo o sólido limitado pelas superfícies e . Resp.: .
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
O que é uma sequência?
O que significa ?