Identifique o sólido cujo volume é dado pela expressão e em seguida calcule .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos identificar o sólido cujo volume é dado pela integral dupla Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas para calcular volumes de sólidos em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Para identificar o sólido , vamos analisar os limites de integração. O varia de 0 a 1, e para cada , varia de 0 a . Essa descrição corresponde a uma região no primeiro quadrante do plano que está abaixo da semicircunferência de raio 1 centrada na origem.

Passo 3

O integrando representa a altura do sólido em cada ponto dessa região. Portanto, é um sólido cuja base é a região descrita e cuja altura em cada ponto é .

Passo 4

Agora, vamos calcular o volume avaliando a integral dupla. Primeiro, integramos em relação a :

Passo 5

Em seguida, integramos o resultado em relação a :

Passo 6

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição trigonométrica. Seja , então , e . Quando , ; quando , . Substituindo na integral:

Passo 7

Expandimos a integral: Integrando termo a termo:

Passo 8

Aplicando os limites de integração:

Resposta

O volume do sólido é .

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Calcule , sendo o sólido limitado pelas superfícies e . Resp.: .
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
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O que é uma sequência? O que significa ?