Mostre que a transformação
dada por
é uma transformação linear.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação
definida por
. O objetivo é mostrar que essa transformação
é uma transformação linear.
Para resolver isso, precisamos saber o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear deve satisfazer duas propriedades principais:
- Adição:
para quaisquer vetores e . - Multiplicação por escalar:
para qualquer vetor e escalar .
Vamos verificar se a transformação
satisfaz essas duas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a propriedade da adição. Suponha que temos dois polinômios
e
em
.
Calculamos
:
Então,
Agora, calculamos
:
Podemos ver que:
Passo 3
Agora, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja
um número real qualquer e
um polinômio em
.
Calculamos
:
Então,
Por outro lado, calculamos
:
Novamente, observamos que:
Resposta
Como a transformação
satisfaz tanto a propriedade da adição quanto a da multiplicação por escalar, concluímos que
é uma transformação linear.