Mostre que a transformação T: P2(R) R^2 dada por T(a+b x+c x^2)=(a+2 b, a+b+c) é uma transformação linear.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação definida por . O objetivo é mostrar que essa transformação é uma transformação linear.
Para resolver isso, precisamos saber o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear deve satisfazer duas propriedades principais:
  1. Adição: para quaisquer vetores e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer vetor e escalar .
Vamos verificar se a transformação satisfaz essas duas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a propriedade da adição. Suponha que temos dois polinômios p(x) + q(x) = (a1 + a2) + (b1 + b2) x + (c1 + c2) x^2 e T(p(x) + q(x)) = ( (a1 + a2) + 2(b1 + b2), (a1 + a2) + (b1 + b2) + (c1 + c2) ) em T(p(x)) = (a1 + 2b1, a1 + b1 + c1) .
Calculamos T(q(x)) = (a2 + 2b2, a2 + b2 + c2) :
T(p(x)) + T(q(x)) = (a1 + 2b1 + a2 + 2b2, a1 + b1 + c1 + a2 + b2 + c2)
Então,
T(p(x) + q(x)) = T(p(x)) + T(q(x))
Agora, calculamos :
Podemos ver que:

Passo 3

Agora, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja k cdot p(x) = k a + k b x + k c x^2 um número real qualquer e T(k cdot p(x)) = (k a + 2(k b), k a + k b + k c) = (k(a + 2b), k(a + b + c)) = k cdot (a + 2b, a + b + c) um polinômio em T(p(x)) = (a + 2b, a + b + c) .
Calculamos k cdot T(p(x)) = (k(a + 2b), k(a + b + c)) :
T(k cdot p(x)) = k cdot T(p(x))
Então,
Por outro lado, calculamos :
Novamente, observamos que:

Resposta

Como a transformação satisfaz tanto a propriedade da adição quanto a da multiplicação por escalar, concluímos que é uma transformação linear.

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