Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica: x^2+y^2+z^2-2 z+4=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa identificar que tipo de superfície está definida pela equação e reescrevê-la na forma canônica. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, mais especificamente sobre as equações das superfícies quadricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação que temos:
x^2 + y^2 + z^2 - 2z + 4 = 0
Percebemos que os termos , e têm coeficientes iguais, o que sugere que estamos lidando com uma esfera, já que a equação geral de uma esfera é .

Passo 3

Para reescrever a equação na forma canônica da esfera, precisamos completar o quadrado no termo que envolve o z^2 - 2z . Vamos isolar os termos de (-22)^2 = 1 :
z^2 - 2z + 1 - 1
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de (z - 1)^2 - 1 , que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
Isso transforma a parte de em um quadrado perfeito:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão de volta na equação original:
x^2 + y^2 + (z - 1)^2 - 1 + 4 = 0
Simplificamos os termos constantes:
x^2 + y^2 + (z - 1)^2 + 3 = 0
Para que essa equação represente uma esfera real, o lado direito deve ser positivo, já que é igual ao raio ao quadrado. Porém, temos:
x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = -3
Isso não faz sentido no conjunto dos números reais, pois a soma de quadrados não pode ser negativa.

Resposta

A equação não representa nenhuma superfície real, já que não existe nenhum ponto que satisfaça essa condição.

Exercícios relacionados