Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa identificar que tipo de superfície está definida pela equação
e reescrevê-la na forma canônica. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, mais especificamente sobre as equações das superfícies quadricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação que temos:
Percebemos que os termos
,
e
têm coeficientes iguais, o que sugere que estamos lidando com uma esfera, já que a equação geral de uma esfera é
.
Passo 3
Para reescrever a equação na forma canônica da esfera, precisamos completar o quadrado no termo que envolve o
. Vamos isolar os termos de
:
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
Isso transforma a parte de
em um quadrado perfeito:
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão de volta na equação original:
Simplificamos os termos constantes:
Para que essa equação represente uma esfera real, o lado direito deve ser positivo, já que é igual ao raio ao quadrado. Porém, temos:
Isso não faz sentido no conjunto dos números reais, pois a soma de quadrados não pode ser negativa.
Resposta
A equação
não representa nenhuma superfície real, já que não existe nenhum ponto
que satisfaça essa condição.
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Mostre que o hiperbolóide de uma folha dado pela equaçāo
não pode ser interseptado pelo eixo
.
Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica:
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