Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica: z=4 x^2+2 y^2-40 x+8 y+100

Passo 1

Então, temos a equação da superfície . Nosso objetivo aqui é identificar que tipo de superfície essa equação representa e reescrevê-la na forma canônica. Para isso, vamos usar o método de completar o quadrado, que é uma técnica matemática para simplificar equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos semelhantes. Vamos separar os termos que contêm z = 4x^2 - 40x + 2y^2 + 8y + 100 e os que contêm :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos em 4x^2 - 40x = 4(x^2 - 10x) . Para isso, fatoramos o coeficiente de 4(x^2 - 10x + 25 - 25) = 4((x - 5)^2 - 25) = 4(x - 5)^2 - 100 :
Para completar o quadrado dentro do parêntese, pegamos metade do coeficiente de (-10), que é -5, e elevamos ao quadrado, ficando 25. Então adicionamos e subtraímos 25 dentro do parêntese:

Passo 4

Fazemos o mesmo processo para os termos em 2y^2 + 8y = 2(y^2 + 4y) . Primeiro, fatoramos o coeficiente de 2(y^2 + 4y + 4 - 4) = 2((y + 2)^2 - 4) = 2(y + 2)^2 - 8 :
Completamos o quadrado dentro do parêntese pegando metade de 4, que é 2, e elevando ao quadrado, ficando 4. Adicionamos e subtraímos 4:

Passo 5

Agora, substituímos essas expressões de volta na equação original:
z = 4(x - 5)^2 - 100 + 2(y + 2)^2 - 8 + 100
Simplificando os termos constantes:
z = 4(x - 5)^2 + 2(y + 2)^2 - 8

Resposta

A forma canônica da superfície é:
z = 4(x - 5)^2 + 2(y + 2)^2 - 8

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