Mostre que o hiperbolóide de uma folha dado pela equaçāo
não pode ser interseptado pelo eixo
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação de um hiperbolóide de uma folha:
O objetivo é mostrar que esse hiperbolóide não pode ser intersectado pelo eixo
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a interseção de uma superfície com um eixo coordenado e utilizar substituição de valores na equação dada.
Passo 2
Vamos lembrar que o eixo
é formado por todos os pontos onde as coordenadas
e
são iguais a zero. Ou seja, qualquer ponto no eixo
tem a forma
. Para verificar se o eixo
intercepta o hiperbolóide, precisamos substituir
e
na equação do hiperbolóide e ver se existe algum valor de
que satisfaça a equação.
Passo 3
Substituindo
e
na equação do hiperbolóide:
Simplificando os termos:
Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação para
:
Observamos que
é igual a um número negativo (
), mas sabemos que o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo. Portanto, não existe valor real de
que satisfaça essa equação.
Resposta
Concluímos que não existe nenhum ponto no eixo
que satisfaça a equação do hiperbolóide de uma folha. Portanto, o hiperbolóide dado não pode ser interceptado pelo eixo
.
Exercícios relacionados
Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica:
Classificar os seguintes subconjuntos do
em LI ou LD (Justifique):
a)
a)
Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica:
Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica: