Mostre que o hiperbolóide de uma folha dado pela equaçāo
x^2a^2+y^2b^2-z^2c^2=1
não pode ser interseptado pelo eixo z.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação de um hiperbolóide de uma folha:
x^2a^2+y^2b^2-z^2c^2=1
O objetivo é mostrar que esse hiperbolóide não pode ser intersectado pelo eixo z. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a interseção de uma superfície com um eixo coordenado e utilizar substituição de valores na equação dada.

Passo 2

Vamos lembrar que o eixo z é formado por todos os pontos onde as coordenadas x e y são iguais a zero. Ou seja, qualquer ponto no eixo z tem a forma (0, 0, z). Para verificar se o eixo z intercepta o hiperbolóide, precisamos substituir x = 0 e y = 0 na equação do hiperbolóide e ver se existe algum valor de z que satisfaça a equação.

Passo 3

Substituindo x = 0 e y = 0 na equação do hiperbolóide:
0^2a^2 + 0^2b^2 - z^2c^2 = 1
Simplificando os termos:
0 + 0 - z^2c^2 = 1
Ou seja:
-z^2c^2 = 1

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para z^2:
-z^2c^2 = 1 implies z^2 = -c^2
Observamos que z^2 é igual a um número negativo ( -c^2), mas sabemos que o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo. Portanto, não existe valor real de z que satisfaça essa equação.

Resposta

Concluímos que não existe nenhum ponto no eixo z que satisfaça a equação do hiperbolóide de uma folha. Portanto, o hiperbolóide dado não pode ser interceptado pelo eixo z.

Exercícios relacionados