Mostre que o hiperbolóide de uma folha dado pela equaçāo
não pode ser interseptado pelo eixo .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação de um hiperbolóide de uma folha:
O objetivo é mostrar que esse hiperbolóide não pode ser intersectado pelo eixo . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a interseção de uma superfície com um eixo coordenado e utilizar substituição de valores na equação dada.

Passo 2

Vamos lembrar que o eixo é formado por todos os pontos onde as coordenadas e são iguais a zero. Ou seja, qualquer ponto no eixo tem a forma . Para verificar se o eixo intercepta o hiperbolóide, precisamos substituir e na equação do hiperbolóide e ver se existe algum valor de que satisfaça a equação.

Passo 3

Substituindo e na equação do hiperbolóide:
Simplificando os termos:
Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para :
Observamos que é igual a um número negativo ( ), mas sabemos que o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo. Portanto, não existe valor real de que satisfaça essa equação.

Resposta

Concluímos que não existe nenhum ponto no eixo que satisfaça a equação do hiperbolóide de uma folha. Portanto, o hiperbolóide dado não pode ser interceptado pelo eixo .

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a)
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