Verifique se cada uma das seguintes sequências a_n, n=1, infinito converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(k) a_n = (5 n^4 - 2 n^2 + n + 1) / (n^2 (n^2 + 1))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a sequência converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é sobre limites de sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento de funções racionais quando cresce sem limite, ou seja, quando vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar a análise. A expressão é:
Vamos começar distribuindo o denominador:
Então, a sequência fica:
Agora, para analisar o limite quando tende ao infinito, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador, pois são eles que mais influenciam o comportamento da função conforme cresce.
No numerador, o termo de maior grau é e no denominador é . Então, podemos simplificar a fração dividindo todos os termos por :

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece quando tende ao infinito ( ). Quando fica muito grande:
  • tende a 0
  • tende a 0
  • tende a 0
  • no denominador também tende a 0
Então, nossa expressão simplificada fica:
Isso significa que, à medida que cresce sem limite, a sequência se aproxima cada vez mais de 5.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 5.

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