Verifique se cada uma das seguintes sequências
converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(k)
(k)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a sequência
converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é sobre limites de sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento de funções racionais quando
cresce sem limite, ou seja, quando
vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar a análise. A expressão é:
Vamos começar distribuindo o denominador:
Então, a sequência fica:
Agora, para analisar o limite quando
tende ao infinito, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador, pois são eles que mais influenciam o comportamento da função conforme
cresce.
No numerador, o termo de maior grau é
e no denominador é
. Então, podemos simplificar a fração dividindo todos os termos por
:
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece quando
tende ao infinito (
). Quando
fica muito grande:
-
tende a 0 -
tende a 0 -
tende a 0 -
no denominador também tende a 0
Então, nossa expressão simplificada fica:
Isso significa que, à medida que
cresce sem limite, a sequência
se aproxima cada vez mais de 5.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é 5.