Identifique o tipo de indeterminação e calcule os seguintes limites. lim x infty(raizx^2+2 x-raizx^2-3 x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para identificar o tipo de indeterminação e calcular o limite:
lim x infty(raizx^2+2 x-raizx^2-3 x)
Estamos lidando com limites e especificamente com indeterminações do tipo infty - infty. Para resolver isso, vamos precisar usar álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de indeterminação. À medida que tende ao infinito, tanto quanto tendem a . Então, temos uma forma , que é uma indeterminação.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, uma técnica útil é racionalizar a expressão. Isso significa multiplicar e dividir pela conjugada da expressão. A conjugada de é .

Passo 4

Vamos multiplicar a expressão original pela conjugada sobre ela mesma:
(raizx^2+2x - raizx^2-3x) times raizx^2+2x + raizx^2-3xraizx^2+2x + raizx^2-3x
Isso nos ajuda a eliminar as raízes no numerador.

Passo 5

Simplificando o numerador usando a identidade (raizx^2+2x)^2 - (raizx^2-3x)^2 = (x^2 + 2x) - (x^2 - 3x) = x^2 + 2x - x^2 + 3x = 5x :
5xraizx^2+2x + raizx^2-3x
Então, a expressão fica:

Passo 6

Agora, vamos simplificar o denominador. Podemos fatorar raizx^2+2x = raizx^2(1 + 2x) = xraiz1 + 2x de dentro das raízes:
raizx^2-3x = raizx^2(1 - 3x) = xraiz1 - 3x
5xxraiz1 + 2x + xraiz1 - 3x = 5xx(raiz1 + 2x + raiz1 - 3x) = 5raiz1 + 2x + raiz1 - 3x
Substituindo isso na expressão:

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite quando raiz1 + 0 + raiz1 - 0 = 1 + 1 = 2 tende ao infinito. À medida que 52 cresce, e tendem a zero. Então:
Portanto, o limite fica:

Resposta

O limite é igual a .

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