Prove que
é ortogonal a qualquer combinação linear de
e
.
Passo 1
Então, a gente tem um vetor
cruzado com
, ou seja,
. A questão é mostrar que esse vetor resultante é ortogonal (ou seja, forma um ângulo de 90 graus) com qualquer combinação linear de
e
. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especialmente produto vetorial e produto escalar, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear de
e
. Uma combinação linear é qualquer vetor que pode ser escrito como
, onde
e
são escalares (números reais).
Passo 3
Queremos provar que
é ortogonal a qualquer vetor da forma
. Para isso, vamos usar o produto escalar, que nos diz que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar entre
e
:
Pela propriedade distributiva do produto escalar, isso é igual a:
Passo 5
Agora, vamos lembrar de outra propriedade importante: o produto escalar de um produto vetorial com qualquer um dos vetores originais é sempre zero. Ou seja:
Isso acontece porque o produto vetorial
é perpendicular tanto a
quanto a
.
Passo 6
Substituindo essas igualdades na expressão que tínhamos:
Portanto, o produto escalar é igual a zero.
Resposta
Concluímos que
é ortogonal a qualquer combinação linear de
e
, já que o produto escalar entre eles é zero.