Prove que u times v é ortogonal a qualquer combinação linear de u e v.

Passo 1

Então, a gente tem um vetor cruzado com , ou seja, . A questão é mostrar que esse vetor resultante é ortogonal (ou seja, forma um ângulo de 90 graus) com qualquer combinação linear de e . Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especialmente produto vetorial e produto escalar, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear de e . Uma combinação linear é qualquer vetor que pode ser escrito como , onde e são escalares (números reais).

Passo 3

Queremos provar que é ortogonal a qualquer vetor da forma . Para isso, vamos usar o produto escalar, que nos diz que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar entre (u times v) cdot (au + bv) e a(u times v) cdot u + b(u times v) cdot v :
Pela propriedade distributiva do produto escalar, isso é igual a:

Passo 5

Agora, vamos lembrar de outra propriedade importante: o produto escalar de um produto vetorial com qualquer um dos vetores originais é sempre zero. Ou seja:
(u times v) cdot u = 0 e (u times v) cdot v = 0
Isso acontece porque o produto vetorial é perpendicular tanto a quanto a .

Passo 6

Substituindo essas igualdades na expressão que tínhamos:
a cdot 0 + b cdot 0 = 0
Portanto, o produto escalar é igual a zero.

Resposta

Concluímos que é ortogonal a qualquer combinação linear de e , já que o produto escalar entre eles é zero.

Exercícios relacionados