Simplify the following expressions:
(a)
(b) $\mathbf{A} \times[\mathbf{A} \times(\mathbf{A} \times \mathbf{B})]
(a)
(b) $\mathbf{A} \times[\mathbf{A} \times(\mathbf{A} \times \mathbf{B})]
Passo 1
Beleza, temos duas expressões envolvendo produtos vetoriais que vamos simplificar. Vamos usar a identidade do produto vetorial triplo para resolver isso. Essa identidade é super útil quando temos produtos vetoriais de vetores cruzados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a identidade do produto vetorial triplo. Ela diz que:
Isso significa que o produto vetorial de um vetor com outro produto vetorial pode ser reescrito como uma combinação de produtos escalares e vetores.
Passo 3
Vamos aplicar essa identidade na primeira expressão:
(a)
Usando a identidade:
Passo 4
Simplificando:
Sabemos que
, que é o quadrado do módulo de
. Então:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda expressão:
(b)
Primeiro, resolvemos o que está dentro dos colchetes usando o resultado da parte (a):
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Vamos distribuir o produto vetorial:
Sabemos que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero:
Então, o primeiro termo é zero:
Resposta
As expressões simplificadas são: