Ignorando a atmosfera da Terra, a que velocidade um corpo teria de ser lançado horizontalmente do alto do Monte Everest para que realizasse uma volta ao mundo e chegasse ao ponto inicial?
- G: Constante gravitacional universal (aproximadamente
)
- M: Massa da Terra (aproximadamente
)
- r: Raio da órbita. Como o objeto é lançado do Everesı, o raio da órbita será aproximadamente o raio da Terra
mais a altitude do Everest ( 8.848 m ).
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para descobrir a velocidade que um corpo precisa ter para ser lançado horizontalmente do topo do Monte Everest e dar uma volta completa na Terra, voltando exatamente ao ponto de partida. Estamos trabalhando com órbita circular e vamos usar conceitos de gravitação. Para resolver isso, precisamos da constante gravitacional universal $ G $, da massa da Terra $ M $ e do raio da órbita $ r $, que é a soma do raio da Terra mais a altura do Everest.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o raio da órbita $ r $. Sabemos que o raio da Terra é aproximadamente $ 6.371 \times 10^{6} $ metros (já que $ 6.371 $ km é igual a $ 6.371 \times 10^{3} $ metros) e a altitude do Monte Everest é $ 8.848 $ metros. Então:
Para simplificar, podemos arredondar $ r $ para $ 6.371 \times 10^{6} $ metros, já que a altitude do Everest é muito pequena comparada ao raio da Terra.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula para a velocidade orbital $ v $, que é a velocidade necessária para um objeto manter uma órbita circular ao redor da Terra. A fórmula é:
Onde:
- $ G = 6.67 \times 10^{-11} , Nm{2}/\text{kg}{2} $ (constante gravitacional universal)
- $ M = 5.97 \times 10^{24} , kg $ (massa da Terra)
- $ r = 6.371 \times 10^{6} , m $ (raio da órbita)
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Primeiro, multiplicamos $ G $ e $ M $:
Então, dividimos pelo raio $ r $:
Passo 5
Agora, vamos tirar a raiz quadrada desse resultado para encontrar a velocidade $ v $:
Resposta
A velocidade necessária para lançar um corpo horizontalmente do alto do Monte Everest e realizar uma volta completa ao redor da Terra, retornando ao ponto inicial, é aproximadamente 7.91 km/s.