A igualdade |u+v|=|u|+|v| é verdadeira para forall u in R^2 e forall v in R^2 ?

Passo 1

Resumo do enunciado: A questão pergunta se a igualdade é verdadeira para todos os vetores e no espaço bidimensional .
Conteúdo da matéria: Vamos utilizar conceitos de norma de vetores e a desigualdade triangular.
O que vamos precisar: Saber o que é a norma de um vetor, como somar vetores e entender a desigualdade triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da igualdade representa:
  • : É a norma (ou comprimento) do vetor .
  • : É a norma (ou comprimento) do vetor .
  • : É a norma do vetor resultante da soma de e .

Passo 3

A desigualdade triangular nos diz que para quaisquer vetores |u + v| <= |u| + |v| e :
Isso significa que o comprimento da soma dos vetores é sempre menor ou igual à soma dos comprimentos individuais.

Passo 4

A igualdade acontece somente quando os vetores e estão na mesma direção e sentido. Ou seja, eles são paralelos e apontam na mesma direção.

Resposta

Não, a igualdade não é verdadeira para todos os vetores e em . Ela vale somente quando e são paralelos e apontam na mesma direção.

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