Uma tábua uniforme de comprimento
e massa
está apoiada em duas balanças distantes
das extremidades da tábua. (b) Se ao invés de Maria, estiver João na extremidade esquerda, a leitura da balança direita será nula (tábua prestes a tombar). Qual é a massa de João?
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos uma tábua uniforme de comprimento
e massa
apoiada em duas balanças que estão a
de cada extremidade da tábua. No item (b), João está na extremidade esquerda e a balança direita não está lendo nada, o que significa que a tábua está prestes a tombar. Nosso objetivo é encontrar a massa de João. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de torques e forças na estática.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos os pontos de apoio da tábua. Como a tábua tem comprimento
e as balanças estão a
das extremidades, a distância entre os pontos de apoio é:
Passo 3
Quando a balança direita não lê nada, isso significa que toda a força de sustentação está na balança esquerda e que a tábua está prestes a tombar. Nesse caso, a soma dos torques em torno do ponto de apoio à esquerda deve ser igual a zero para que o sistema esteja em equilíbrio.
Passo 4
Vamos calcular os torques em relação ao ponto de apoio esquerdo. O torque é dado pela fórmula:
onde
é a distância perpendicular em relação ao ponto de rotação e
é a força aplicada.
Passo 5
As forças que atuam na tábua são:
- A força peso da tábua, que atua em seu centro de massa, localizado no meio da tábua (
de cada extremidade). - A força peso de João, que está na extremidade esquerda, a
do ponto de apoio esquerdo.
Como a balança direita não está exercendo força, consideramos apenas a força na balança esquerda e as forças peso.
Passo 6
Para o equilíbrio de torques:
Vamos considerar que torque que tende a girar a tábua no sentido horário é positivo e no sentido anti-horário é negativo.
Passo 7
Calculando os torques:
- Torque de João:
onde
.
- Torque da tábua:
Porque o centro de massa está a
do ponto de apoio esquerdo (já que a distância entre os apoios é
e a tábua tem
de comprimento total).
Passo 8
Substituindo na equação de equilíbrio:
Note que a aceleração da gravidade
aparece em ambos os lados e pode ser cancelada.
Passo 9
Resolvendo para
:
Passo 10
Agora, substituindo o valor de
:
Resposta
A massa de João é
.