Uma tábua uniforme de comprimento L=3 m e massa M=35 kg está apoiada em duas balanças distantes 0,5 m das extremidades da tábua. (b) Se ao invés de Maria, estiver João na extremidade esquerda, a leitura da balança direita será nula (tábua prestes a tombar). Qual é a massa de João?

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos uma tábua uniforme de comprimento L = 3,m e massa M = 35,kg apoiada em duas balanças que estão a 0,5,m de cada extremidade da tábua. No item (b), João está na extremidade esquerda e a balança direita não está lendo nada, o que significa que a tábua está prestes a tombar. Nosso objetivo é encontrar a massa de João. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de torques e forças na estática.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos os pontos de apoio da tábua. Como a tábua tem comprimento L = 3,m e as balanças estão a 0,5,m das extremidades, a distância entre os pontos de apoio é:
Distância entre balanças = L - 2 times 0,5,m = 3,m - 1,m = 2,m âç

Passo 3

Quando a balança direita não lê nada, isso significa que toda a força de sustentação está na balança esquerda e que a tábua está prestes a tombar. Nesse caso, a soma dos torques em torno do ponto de apoio à esquerda deve ser igual a zero para que o sistema esteja em equilíbrio.

Passo 4

Vamos calcular os torques em relação ao ponto de apoio esquerdo. O torque é dado pela fórmula:
tau = r times F
onde r é a distância perpendicular em relação ao ponto de rotação e F é a força aplicada.

Passo 5

As forças que atuam na tábua são:
  • A força peso da tábua, que atua em seu centro de massa, localizado no meio da tábua ( 1,5,m de cada extremidade).
  • A força peso de João, que está na extremidade esquerda, a 0,5,m do ponto de apoio esquerdo.
Como a balança direita não está exercendo força, consideramos apenas a força na balança esquerda e as forças peso.

Passo 6

Para o equilíbrio de torques:
tauJoão + tautábua = 0 ãá
Vamos considerar que torque que tende a girar a tábua no sentido horário é positivo e no sentido anti-horário é negativo.

Passo 7

Calculando os torques:
  • Torque de João:
tauJoão = FJ times 0,5,m ã
onde FJ = mJ times g.
  • Torque da tábua:
tautábua = M times g times 1,0,m á
Porque o centro de massa está a 1,0,m do ponto de apoio esquerdo (já que a distância entre os apoios é 2,m e a tábua tem 3,m de comprimento total).

Passo 8

Substituindo na equação de equilíbrio:
mJ times g times 0,5,m = M times g times 1,0,m
Note que a aceleração da gravidade g aparece em ambos os lados e pode ser cancelada.

Passo 9

Resolvendo para mJ:
mJ times 0,5,m = M times 1,0,m
mJ = M times 1,0,m0,5,m
mJ = 2 times M

Passo 10

Agora, substituindo o valor de M = 35,kg:
mJ = 2 times 35,kg = 70,kg

Resposta

A massa de João é 70,kg.

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