Uma tábua uniforme de comprimento
e massa
está apoiada em duas balanças distantes
das extremidades da tábua. (b) Se ao invés de Maria, estiver João na extremidade esquerda, a leitura da balança direita será nula (tábua prestes a tombar). Qual é a massa de João?
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos uma tábua uniforme de comprimento
e massa
apoiada em duas balanças que estão a
de cada extremidade da tábua. No item (b), João está na extremidade esquerda e a balança direita não está lendo nada, o que significa que a tábua está prestes a tombar. Nosso objetivo é encontrar a massa de João. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de torques e forças na estática.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos os pontos de apoio da tábua. Como a tábua tem comprimento
e as balanças estão a
das extremidades, a distância entre os pontos de apoio é:
Passo 3
Quando a balança direita não lê nada, isso significa que toda a força de sustentação está na balança esquerda e que a tábua está prestes a tombar. Nesse caso, a soma dos torques em torno do ponto de apoio à esquerda deve ser igual a zero para que o sistema esteja em equilíbrio.
Passo 4
Vamos calcular os torques em relação ao ponto de apoio esquerdo. O torque é dado pela fórmula:
onde
é a distância perpendicular em relação ao ponto de rotação e
é a força aplicada.
Passo 5
As forças que atuam na tábua são:
- A força peso da tábua, que atua em seu centro de massa, localizado no meio da tábua (
de cada extremidade). - A força peso de João, que está na extremidade esquerda, a
do ponto de apoio esquerdo.
Como a balança direita não está exercendo força, consideramos apenas a força na balança esquerda e as forças peso.
Passo 6
Para o equilíbrio de torques:
Vamos considerar que torque que tende a girar a tábua no sentido horário é positivo e no sentido anti-horário é negativo.
Passo 7
Calculando os torques:
- Torque de João:
onde
.
- Torque da tábua:
Porque o centro de massa está a
do ponto de apoio esquerdo (já que a distância entre os apoios é
e a tábua tem
de comprimento total).
Passo 8
Substituindo na equação de equilíbrio:
Note que a aceleração da gravidade
aparece em ambos os lados e pode ser cancelada.
Passo 9
Resolvendo para
:
Passo 10
Agora, substituindo o valor de
:
Resposta
A massa de João é
.
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Uma tábua uniforme de comprimento
e massa
está apoiada em duas balanças distantes
das extremidades da tábua. (a) Quais serão as leituras das balanças quando Maria, que tem massa 45 kg, permanece em pé na extremidade esquerda da tábua?
Uma tábua uniforme de comprimento
e massa
está apoiada em duas balanças distantes
das extremidades da tábua. (a) Quais serão as leituras das balanças quando Maria, que tem massa 45 kg, permanece em pé na extremidade esquerda da tábua? (b) Se ao invés de Maria, estiver João na extremidade esquerda, a leitura da balança direita será nula (tábua prestes a tombar). Qual é a massa de João?