Imaginando os planos como placas condutoras de espessura muito pequena, utilize a lei de Gauss e o resultado do item anterior para determinar as densidades superficiais de carga em cada uma das quatro faces.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos dois planos condutores com espessura muito pequena, e precisamos determinar as densidades superficiais de carga em cada uma das quatro faces desses planos. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é fundamental na eletrostática para relacionar o campo elétrico com a distribuição de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica . Em fórmula:
Onde:
  • é o fluxo elétrico,
  • é o campo elétrico,
  • é um elemento de área da superfície ,
  • é a carga total dentro da superfície,
  • é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Sabemos que os planos são condutores. Isso significa que as cargas livres se distribuem apenas nas superfícies dos condutores. Além disso, o campo elétrico dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático é zero. Portanto, a carga na superfície de cada plano criará um campo elétrico perpendicular à superfície.

Passo 4

Vamos considerar uma das faces dos planos. Suponha que a densidade superficial de carga nessa face seja . O campo elétrico próximo a essa face, devido a essa carga, será:
Esse resultado vem da aplicação da Lei de Gauss a uma superfície fechada do tipo “caixa gaussiana” que envolve apenas uma das faces.

Passo 5

Como temos dois planos, cada um com duas faces, precisamos considerar a contribuição de cada face para o campo total. Vamos supor que as cargas nas faces opostas tenham sinais opostos para manter o equilíbrio eletrostático.
Se chamarmos as densidades superficiais de carga das quatro faces de e , podemos igualar as contribuições dos campos elétricos considerando as superfícies adjacentes.

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss a todo o sistema, e sabendo que o campo dentro dos condutores é zero, obtemos que as densidades superficiais de carga nas faces internas se cancelam, enquanto as densidades nas faces externas somam-se. Portanto:

Resposta

As densidades superficiais de carga em cada uma das quatro faces dos planos condutores são iguais em magnitude e de sinais opostos nas faces opostas, ou seja:

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