Seja a unidade imaginária, calcule , observe que as potências começam a se repetir a partir de . Verifique que vale a seguinte expressão para e . Aplique este resultado para calcular:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com a unidade imaginária , calcular algumas de suas potências e depois usar um padrão que se repete para somar uma sequência bem grandona: . Para resolver isso, vamos precisar entender como as potências de funcionam e identificar o ciclo de repetição delas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as potências de de 1 até 5 para ver como elas se comportam:
Então, percebemos que a partir de , as potências começam a se repetir: , , e assim por diante.

Passo 3

Essa repetição ocorre porque , que é o ponto de reinício do ciclo. Portanto, qualquer potência de pode ser escrita na forma , onde é o resto da divisão do expoente por 4, e é um número natural. Isso simplifica muito os cálculos!

Passo 4

Agora, vamos aplicar esse entendimento para calcular a soma . Primeiro, vamos ver quantos termos temos nessa soma:
Desde até , temos termos.

Passo 5

Sabendo que as potências de se repetem a cada 4 termos, vamos dividir esses 1993 termos em grupos de 4. Assim:
Isso significa que temos 498 grupos de 4 termos que somam zero, pois:
E sobra um termo: .

Passo 6

Então, a soma total será a soma dos 498 grupos, que são todos zeros, mais o termo que sobrou:

Resposta

A soma é igual a 1.

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