Seja
a unidade imaginária, calcule
, observe que as potências começam a se repetir a partir de
. Verifique que vale a seguinte expressão
para
e
. Aplique este resultado para calcular:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com a unidade imaginária
, calcular algumas de suas potências e depois usar um padrão que se repete para somar uma sequência bem grandona:
. Para resolver isso, vamos precisar entender como as potências de
funcionam e identificar o ciclo de repetição delas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as potências de
de 1 até 5 para ver como elas se comportam:
Então, percebemos que a partir de
, as potências começam a se repetir:
,
, e assim por diante.
Passo 3
Essa repetição ocorre porque
, que é o ponto de reinício do ciclo. Portanto, qualquer potência de
pode ser escrita na forma
, onde
é o resto da divisão do expoente por 4, e
é um número natural. Isso simplifica muito os cálculos!
Passo 4
Agora, vamos aplicar esse entendimento para calcular a soma
. Primeiro, vamos ver quantos termos temos nessa soma:
Desde
até
, temos
termos.
Passo 5
Sabendo que as potências de
se repetem a cada 4 termos, vamos dividir esses 1993 termos em grupos de 4. Assim:
Isso significa que temos 498 grupos de 4 termos que somam zero, pois:
E sobra um termo:
.
Passo 6
Então, a soma total será a soma dos 498 grupos, que são todos zeros, mais o termo que sobrou:
Resposta
A soma
é igual a 1.
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