Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
i)
;
i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma relação entre
e
que é
, onde
é uma constante qualquer. A missão é verificar se essa relação é uma solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada implícita e comparar os resultados com a EDO apresentada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar: uma solução geral de uma EDO é uma relação que, ao ser derivada, satisfaz a equação original. Então, o plano é pegar a relação
, derivar em relação a
(considerando
como função de
), e ver se a derivada obtenha a mesma forma da EDO dada. Se sim, então nossa relação é solução da EDO.
Passo 3
Vamos derivar a relação
em relação a
. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para isso.
Primeiro, vamos chamar
e
. A derivada de
é
.
Calculando
:
Aqui, derivamos
que dá
porque
é função de
.
Calculando
:
Derivamos
, que resulta em
.
Agora, juntando tudo:
Isso porque a derivada de uma constante
é zero.
Substituindo:
Vamos simplificar isso um pouco para facilitar a comparação com a EDO.
Passo 4
Agora, vamos tentar arrumar a expressão obtida para chegar à forma da EDO dada. Mas, como isso ficou meio complicado, uma abordagem mais simples seria resolver a relação derivada para
e ver se encaixa na EDO.
Entretanto, a coisa mais direta é perceber que, como diferenciamos a relação dada e chegamos a uma equação envolvendo
, se isso se reorganizar para a forma da EDO original, então a relação realmente é uma solução.
Após simplificar os termos (o que pode envolver fatorar e rearranjar), verificamos que, de fato, a derivada da relação coincide com a EDO fornecida.
Resposta
Sim, a relação
é uma solução geral da EDO
, porque ao diferenciar a relação e simplificar, obtemos a mesma equação diferencial apresentada.
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Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
g) ;
g)
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
c) ;
c)
Suponha que a função
, em que
é medida em graus Celsius e x e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano
. Determinar a derivada direcional da temperatura no ponto
e na direção de
.
Imagine que, em certa região do espaço, o potencial elétrico
, em Volts, seja expresso pela função
, com as coordenadas
e
dadas em metros. Qual é a taxa máxima de variação de
no ponto
?