Se d1=3 imath-2 jmath+4 k e d2=-5 imath+2 jmath-k, determine (d1+d2) cdot(d1 times 4 d2).
37P. Considere três vetores dados tais que: a=3 imath+3 jmath-2 k, b=-imath-4 jmath+2 k e c=2 imath+2 jmath+k. Calcule (a) a (b times c), (b) a (b+c) e © a times(b+c).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema que você enviou. Temos dois exercícios envolvendo operações com vetores. No primeiro, trabalhamos com dois vetores d1 e d2, e precisamos calcular o produto escalar de (d1+d2) com o produto vetorial de d1 e 4d2. No segundo exercício, temos três vetores a, b e c, e precisamos realizar três cálculos diferentes envolvendo produto escalar e vetorial. Para resolver esses problemas, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como soma de vetores, produto escalar e produto vetorial.

Primeiro Exercício

Passo 2

Primeiro, vamos somar os vetores d1 e d2. A soma de vetores é feita somando componente a componente:
d1 + d2 = (3imath - 2jmath + 4k) + (-5imath + 2jmath - k) = (3 - 5)imath + (-2 + 2)jmath + (4 - 1)k = -2imath + 0jmath + 3k

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial d1 times 4d2. Primeiro, multiplicamos o vetor d2 por 4:
4d2 = 4(-5imath + 2jmath - k) = -20imath + 8jmath - 4k
Agora, calculamos o produto vetorial d1 times 4d2:
d1 times 4d2 = imath & jmath & k 3 & -2 & 4 -20 & 8 & -4
= imath((-2)(-4) - (4)(8)) - jmath((3)(-4) - (4)(-20)) + k((3)(8) - (-2)(-20))
= imath(8 - 32) - jmath(-12 + 80) + k(24 - 40)
= -24imath - 68jmath - 16k

Passo 4

Agora, precisamos calcular o produto escalar entre d1 + d2 e d1 times 4d2:
(d1 + d2) cdot (d1 times 4d2) = (-2imath + 0jmath + 3k) cdot (-24imath - 68jmath - 16k)
= (-2)(-24) + (0)(-68) + (3)(-16) = 48 + 0 - 48 = 0

Passo 5

Vamos analisar o segundo exercício, que envolve três vetores a, b e c. Precisamos calcular:
a) O produto escalar de a com o produto vetorial de b e c.
b) O produto escalar de a com a soma de b e c.
c) O produto vetorial de a com a soma de b e c.
Para resolver isso, usaremos as definições de produto escalar e produto vetorial, além das propriedades desses produtos.

Passo 6

Parte a: Calcular a cdot (b times c).
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial b times c:
b times c = imath & jmath & k -1 & -4 & 2 2 & 2 & 1
= imath((-4)(1) - (2)(2)) - jmath((-1)(1) - (2)(2)) + k((-1)(2) - (-4)(2))
= imath(-4 - 4) - jmath(-1 - 4) + k(-2 + 8)
= -8imath + 5jmath + 6k
Agora, calculamos o produto escalar com a:
a cdot (b times c) = (3imath + 3jmath - 2k) cdot (-8imath + 5jmath + 6k)
= (3)(-8) + (3)(5) + (-2)(6) = -24 + 15 - 12 = -21

Passo 7

Parte b: Calcular a cdot (b + c).
Primeiro, somamos os vetores b e c:
b + c = (-imath - 4jmath + 2k) + (2imath + 2jmath + k) = ( -1 + 2)imath + (-4 + 2)jmath + (2 + 1)k = imath - 2jmath + 3k
Agora, calculamos o produto escalar com a:
a cdot (b + c) = (3imath + 3jmath - 2k) cdot (imath - 2jmath + 3k) = (3)(1) + (3)(-2) + (-2)(3) = 3 - 6 - 6 = -9

Passo 8

Parte c: Calcular a times (b + c).
Já calculamos b + c na parte b, que é imath - 2jmath + 3k. Agora, calculamos o produto vetorial com a:
a times (b + c) = imath & jmath & k 3 & 3 & -2 1 & -2 & 3
= imath((3)(3) - (-2)(-2)) - jmath((3)(3) - (-2)(1)) + k((3)(-2) - (3)(1))
= imath(9 - 4) - jmath(9 - (-2)) + k(-6 - 3)
= 5imath - 11jmath - 9k

Resposta

a) a cdot (b times c) = -21
b) a cdot (b + c) = -9
c) a times (b + c) = 5imath - 11jmath - 9k

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