Uma pessoa caminha da seguinte forma: para o norte, para oeste e para o sul. Em que direção voaria um pássaro em linha reta do mesmo ponto de partida ao mesmo ponto de chegada?
12P. Um carro viaja 50 km para leste, 30 km para o norte e 25 km em uma direção a leste do norte. Desenhe o diagrama vetorial e determine (a) o módulo e (b) o ângulo do deslocamento do carro em relação ao ponto de partida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de vetores aqui, que faz parte da matéria de Física, mais especificamente de Cinemática. A gente precisa descobrir qual é o deslocamento total de um carro que viaja em diferentes direções. Para resolver isso, vamos precisar usar a soma de vetores, decomposição em componentes e trigonometria básica para encontrar magnitudes e ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os movimentos do carro:
  1. 50 km para leste: Esse é um vetor que aponta diretamente para o leste.
  2. 30 km para o norte: Esse vetor aponta diretamente para o norte.
  3. 25 km em uma direção 30° a leste do norte: Esse vetor está 30 graus à leste da direção norte.

Passo 3

Para somar esses vetores, vamos decompor cada um nas componentes leste (E) e norte (N).
  • Vetor 1 (50 km leste):
    • Componente E: 50 km
    • Componente N: 0 km
  • Vetor 2 (30 km norte):
    • Componente E: 0 km
    • Componente N: 30 km
  • Vetor 3 (25 km a 30° leste do norte):
    • Para encontrar as componentes, usamos trigonometria:
      • Componente E:
      • Componente N:

Passo 4

Calculando as componentes do terceiro vetor:
Então:
  • Componente E:
  • Componente N:

Passo 5

Agora, somamos todas as componentes E e N:
  • Total E: 50 km (Vetor 1) + 0 km (Vetor 2) + 12,5 km (Vetor 3) = 62,5 km
  • Total N: 0 km (Vetor 1) + 30 km (Vetor 2) + 21,65 km (Vetor 3) ≈ 51,65 km

Passo 6

Com as componentes totais conhecidas, podemos encontrar o módulo (a magnitude) do deslocamento usando o teorema de Pitágoras:
ó
Calculando:
ó

Passo 7

Para encontrar o ângulo do deslocamento em relação ao leste, usamos a tangente:
Calculando:
Então, o ângulo é aproximadamente 39,5° ao norte do leste.

Resposta

(a) O módulo do deslocamento é aproximadamente 81,07 km.
(b) O ângulo do deslocamento em relação ao leste é aproximadamente 39,5° ao norte.

Exercícios relacionados

Quais são a componente y de um vetor do plano xy que faz um ângulo de no sentido antihorário como o semieixo x positivo e tem um módulo de 7,3 m ?
3P. A componente x do vetor é e a componente y é . (a) Qual é o módulo de ? (b) Qual é o ângulo entre a orientação de e o semieixo x positivo?
Dois trens, em movimento retilíneo, viajam na mesma direção e em sentidos opostos, um a outro a . Quando estão a 974 m um do outro, os maquinistas se avistam e aplicam os freios. O primeiro trem consegue desacelerar a e o outro a . Considere que os trens estão em trilhos separados e não podem colidir. (d) Determine a distância percorrida pelo segundo trem para frear completamente.
Se e , determine .
37P. Considere três vetores dados tais que: , e . Calcule (a) , (b) e © .
No produto , faça e considere os vetores e . Determine , na notação dos vetores unitários, para .
50P. O vetor é paralelo ao semieixo y negativo e o vetor é paralelo ao semieixo x positivo. Determine a orientação (a) de e (b) de . Determine o módulo © de e (d) de . Determine a orientação (e) do vetor e (f) do vetor . Determine o módulo (g) de e (h) de . Determine (i) o módulo e (j) a orientação de