Uma pessoa caminha da seguinte forma: 3,1 km para o norte, 2,4 km para oeste e 5,2 km para o sul. Em que direção voaria um pássaro em linha reta do mesmo ponto de partida ao mesmo ponto de chegada?
12P. Um carro viaja 50 km para leste, 30 km para o norte e 25 km em uma direção 30^circ a leste do norte. Desenhe o diagrama vetorial e determine (a) o módulo e (b) o ângulo do deslocamento do carro em relação ao ponto de partida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de vetores aqui, que faz parte da matéria de Física, mais especificamente de Cinemática. A gente precisa descobrir qual é o deslocamento total de um carro que viaja em diferentes direções. Para resolver isso, vamos precisar usar a soma de vetores, decomposição em componentes e trigonometria básica para encontrar magnitudes e ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os movimentos do carro:
  1. 50 km para leste: Esse é um vetor que aponta diretamente para o leste.
  2. 30 km para o norte: Esse vetor aponta diretamente para o norte.
  3. 25 km em uma direção 30° a leste do norte: Esse vetor está 30 graus à leste da direção norte.

Passo 3

Para somar esses vetores, vamos decompor cada um nas componentes leste (E) e norte (N).
  • Vetor 1 (50 km leste):
    • Componente E: 50 km
    • Componente N: 0 km
  • Vetor 2 (30 km norte):
    • Componente E: 0 km
    • Componente N: 30 km
  • Vetor 3 (25 km a 30° leste do norte):
    • Para encontrar as componentes, usamos trigonometria:
      • Componente E:
      • Componente N:

Passo 4

Calculando as componentes do terceiro vetor:
Então:
  • Componente E:
  • Componente N:

Passo 5

Agora, somamos todas as componentes E e N:
  • Total E: 50 km (Vetor 1) + 0 km (Vetor 2) + 12,5 km (Vetor 3) = 62,5 km
  • Total N: 0 km (Vetor 1) + 30 km (Vetor 2) + 21,65 km (Vetor 3) ≈ 51,65 km

Passo 6

Com as componentes totais conhecidas, podemos encontrar o módulo (a magnitude) do deslocamento usando o teorema de Pitágoras:
Módulo = raiz(62,5)^2 + (51,65)^2 ó
Calculando:
Módulo = raiz3906,25 + 2666,22 = raiz6572,47 approx 81,07 , km ó

Passo 7

Para encontrar o ângulo do deslocamento em relação ao leste, usamos a tangente:
tan(theta) = Componente NComponente E = 51,6562,5
Calculando:
theta = tan^-1(51,6562,5) approx tan^-1(0,826) approx 39,5°
Então, o ângulo é aproximadamente 39,5° ao norte do leste.

Resposta

(a) O módulo do deslocamento é aproximadamente 81,07 km.
(b) O ângulo do deslocamento em relação ao leste é aproximadamente 39,5° ao norte.

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