Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A primeira parte do problema envolve a equação do produto . A gente precisa descobrir o vetor sabendo que , , e que . Para isso, vamos precisar usar o produto vetorial e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial resulta em um novo vetor. Calculando esse produto com e , temos:
Passo 3
Calculando o determinante, obtemos:
Portanto:
Passo 4
Sabemos que e , então:
Simplificando:
Passo 5
Igualando com a dada , temos o sistema de equações:
Passo 6
Sabemos que . Vamos chamar ambos de . Então, substituindo na terceira equação:
Portanto, .
Passo 7
Agora, substituindo na primeira equação:
Passo 8
Então, encontramos que .
Passo 9
Agora, vamos para a segunda parte do exercício sobre os vetores e . Sabemos que é paralelo ao semieixo y negativo e é paralelo ao semieixo x positivo. Vamos responder as partes (a) a (j) passo a passo, explicando cada conceito.
Passo 10
(a) Orientação de : Dividir o vetor por 4 não muda sua direção, apenas seu módulo. Como é paralelo ao eixo x positivo, também será paralelo ao eixo x positivo.
Passo 11
(b) Orientação de : Multiplicar por -1 inverte a direção do vetor. Como é paralelo ao semieixo y negativo, será paralelo ao semieixo y positivo. Dividindo por 4, a direção permanece a mesma.
(e) Orientação de : O produto vetorial resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais, seguindo a regra da mão direita. Como está no eixo y negativo e no eixo x positivo, apontará na direção positiva do eixo z.
Passo 15
(f) Orientação de : A ordem importa no produto vetorial. , então apontará na direção negativa do eixo z.
Passo 16
(g) Módulo de : O módulo é dado por . Como o seno de 90° é 1, o módulo é simplesmente o produto dos módulos de e .
Passo 17
(h) Módulo de : Similar ao item (g), já que .
Passo 18
(i) Módulo de : Aqui, dividir por 4 reduz seu módulo por 4. Então, o módulo será .
Passo 19
(j) Orientação de : A direção permanece a mesma que , ou seja, na direção positiva do eixo z.