No produto , faça e considere os vetores e . Determine , na notação dos vetores unitários, para .
50P. O vetor é paralelo ao semieixo y negativo e o vetor é paralelo ao semieixo x positivo. Determine a orientação (a) de e (b) de . Determine o módulo © de e (d) de . Determine a orientação (e) do vetor e (f) do vetor . Determine o módulo (g) de e (h) de . Determine (i) o módulo e (j) a orientação de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A primeira parte do problema envolve a equação do produto . A gente precisa descobrir o vetor sabendo que , , e que . Para isso, vamos precisar usar o produto vetorial e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial resulta em um novo vetor. Calculando esse produto com e , temos:

Passo 3

Calculando o determinante, obtemos:
Portanto:

Passo 4

Sabemos que e , então:
Simplificando:

Passo 5

Igualando com a dada , temos o sistema de equações:

Passo 6

Sabemos que . Vamos chamar ambos de . Então, substituindo na terceira equação:
Portanto, .

Passo 7

Agora, substituindo na primeira equação:

Passo 8

Então, encontramos que .

Passo 9

Agora, vamos para a segunda parte do exercício sobre os vetores e . Sabemos que é paralelo ao semieixo y negativo e é paralelo ao semieixo x positivo. Vamos responder as partes (a) a (j) passo a passo, explicando cada conceito.

Passo 10

(a) Orientação de : Dividir o vetor por 4 não muda sua direção, apenas seu módulo. Como é paralelo ao eixo x positivo, também será paralelo ao eixo x positivo.

Passo 11

(b) Orientação de : Multiplicar por -1 inverte a direção do vetor. Como é paralelo ao semieixo y negativo, será paralelo ao semieixo y positivo. Dividindo por 4, a direção permanece a mesma.

Passo 12

© Módulo de : O produto escalar de dois vetores é dado por , onde é o ângulo entre eles. Como está no eixo y negativo e no eixo x positivo, o ângulo entre eles é 90°, e . Portanto, o módulo é 0.

Passo 13

(d) Módulo de : Similar ao item ©, dividir por 4 apenas escala o vetor, então o produto escalar será .

Passo 14

(e) Orientação de : O produto vetorial resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais, seguindo a regra da mão direita. Como está no eixo y negativo e no eixo x positivo, apontará na direção positiva do eixo z.

Passo 15

(f) Orientação de : A ordem importa no produto vetorial. , então apontará na direção negativa do eixo z.

Passo 16

(g) Módulo de : O módulo é dado por . Como o seno de 90° é 1, o módulo é simplesmente o produto dos módulos de e .

Passo 17

(h) Módulo de : Similar ao item (g), já que .

Passo 18

(i) Módulo de : Aqui, dividir por 4 reduz seu módulo por 4. Então, o módulo será .

Passo 19

(j) Orientação de : A direção permanece a mesma que , ou seja, na direção positiva do eixo z.

Resposta

(a) é paralelo ao eixo x positivo.
(b) é paralelo ao eixo y positivo.
© O módulo de é 0.
(d) O módulo de é 0.
(e) é paralelo ao eixo z positivo.
(f) é paralelo ao eixo z negativo.
(g) O módulo de é .
(h) O módulo de é .
(i) O módulo de é .
(j) é paralelo ao eixo z positivo.

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