enquanto o vetor tem módulo 6 e faz um ângulo de em relação ao semieixo positivo. Determine o módulo e o ângulo em relação ao semieixo positivo para os vetores:
(a) . [R.: .]
(b) R.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! A gente tem dois vetores, e . O vetor está dado em componentes, e o vetor está definido pelo seu módulo e pelo ângulo que faz com o eixo . Precisamos encontrar o módulo e o ângulo dos vetores resultantes e . Para isso, vamos usar conceitos de soma de vetores, decomposição em componentes e trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o vetor . Ele está dado por:
Isso significa que na direção do eixo , a componente é 3, e na direção do eixo , a componente é 5.

Passo 3

Agora, vamos analisar o vetor . Sabemos que o módulo de é 6 e que ele faz um ângulo de com o eixo positivo. Para trabalhar com ele, precisamos encontrar suas componentes em e . Usamos as fórmulas:
onde e .

Passo 4

Calculando as componentes de :
Então, o vetor em componentes é aproximadamente:

Passo 5

Agora, vamos calcular o vetor . Para somar vetores, somamos as componentes correspondentes:
Então, .

Passo 6

Para encontrar o módulo de , usamos a fórmula do módulo de um vetor:

Passo 7

Agora, vamos encontrar o ângulo que forma com o eixo positivo. Usamos a função tangente inversa:

Passo 8

Então, para o item (a), o vetor tem módulo aproximadamente 8,80 e faz um ângulo de aproximadamente com o eixo positivo.

Passo 9

Agora, vamos resolver o item (b), onde precisamos encontrar . Primeiro, subtraímos as componentes:
Então, .

Passo 10

Calculando o módulo de :

Passo 11

Para achar o ângulo que forma com o eixo positivo, usamos:
Como a componente é negativa e a é positiva, o vetor está no segundo quadrante. Calculando:
Para ajustar para o segundo quadrante:

Resposta

(a) O vetor tem módulo aproximadamente e faz um ângulo de com o eixo positivo.
(b) O vetor tem módulo aproximadamente e faz um ângulo de com o eixo positivo.

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