a=3 imath+5 jmath
enquanto o vetor b tem módulo 6 e faz um ângulo de -25^circ em relação ao semieixo x positivo. Determine o módulo e o ângulo em relação ao semieixo x positivo para os vetores:
(a) c=a+b. [R.: c=8,79, theta=16,25^circ.]
(b) d=a-b [ R.: d=7,92, theta=107,93^circ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! A gente tem dois vetores, a e b. O vetor a está dado em componentes, e o vetor b está definido pelo seu módulo e pelo ângulo que faz com o eixo x. Precisamos encontrar o módulo e o ângulo dos vetores resultantes c = a + b e d = a - b. Para isso, vamos usar conceitos de soma de vetores, decomposição em componentes e trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o vetor a. Ele está dado por:
a = 3,imath + 5,jmath
Isso significa que na direção do eixo x, a componente é 3, e na direção do eixo y, a componente é 5.

Passo 3

Agora, vamos analisar o vetor b. Sabemos que o módulo de b é 6 e que ele faz um ângulo de -25^circ com o eixo x positivo. Para trabalhar com ele, precisamos encontrar suas componentes em x e y. Usamos as fórmulas:
bx = b cdot cos(theta)
by = b cdot sin(theta)
onde b = 6 e theta = -25^circ.

Passo 4

Calculando as componentes de b:
bx = 6 cdot cos(-25^circ) = 6 cdot cos(25^circ) approx 6 cdot 0,9063 approx 5,44
by = 6 cdot sin(-25^circ) = 6 cdot (-sin(25^circ)) approx 6 cdot (-0,4226) approx -2,54
Então, o vetor b em componentes é aproximadamente:
b approx 5,44,imath - 2,54,jmath

Passo 5

Agora, vamos calcular o vetor c = a + b. Para somar vetores, somamos as componentes correspondentes:
cx = ax + bx = 3 + 5,44 = 8,44
cy = ay + by = 5 + (-2,54) = 2,46
Então, c approx 8,44,imath + 2,46,jmath.

Passo 6

Para encontrar o módulo de c, usamos a fórmula do módulo de um vetor:
|c| = raizcx^2 + cy^2 = raiz8,44^2 + 2,46^2 approx raiz71,31 + 6,05 approx raiz77,36 approx 8,80

Passo 7

Agora, vamos encontrar o ângulo que c forma com o eixo x positivo. Usamos a função tangente inversa:
thetac = tan^-1(cycx) = tan^-1(2,468,44) approx tan^-1(0,2915) approx 16,15^circ

Passo 8

Então, para o item (a), o vetor c = a + b tem módulo aproximadamente 8,80 e faz um ângulo de aproximadamente 16,15^circ com o eixo x positivo.

Passo 9

Agora, vamos resolver o item (b), onde precisamos encontrar d = a - b. Primeiro, subtraímos as componentes:
dx = ax - bx = 3 - 5,44 = -2,44
dy = ay - by = 5 - (-2,54) = 7,54
Então, d approx -2,44,imath + 7,54,jmath.

Passo 10

Calculando o módulo de d:
|d| = raizdx^2 + dy^2 = raiz(-2,44)^2 + 7,54^2 approx raiz5,95 + 56,85 approx raiz62,8 approx 7,92

Passo 11

Para achar o ângulo que d forma com o eixo x positivo, usamos:
thetad = tan^-1(dydx) = tan^-1(7,54-2,44)
Como a componente x é negativa e a y é positiva, o vetor está no segundo quadrante. Calculando:
tan^-1(7,54-2,44) approx tan^-1(-3,09) approx -72,07^circ
Para ajustar para o segundo quadrante:
thetad = 180^circ - 72,07^circ = 107,93^circ

Resposta

(a) O vetor c = a + b tem módulo aproximadamente 8,80 e faz um ângulo de 16,15^circ com o eixo x positivo.
(b) O vetor d = a - b tem módulo aproximadamente 7,92 e faz um ângulo de 107,93^circ com o eixo x positivo.

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