enquanto o vetor
tem módulo 6 e faz um ângulo de
em relação ao semieixo
positivo. Determine o módulo e o ângulo em relação ao semieixo
positivo para os vetores:
(a)
. [R.:
.]
(b)
R.:
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! A gente tem dois vetores,
e
. O vetor
está dado em componentes, e o vetor
está definido pelo seu módulo e pelo ângulo que faz com o eixo
. Precisamos encontrar o módulo e o ângulo dos vetores resultantes
e
. Para isso, vamos usar conceitos de soma de vetores, decomposição em componentes e trigonometria básica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o vetor
. Ele está dado por:
Isso significa que na direção do eixo
, a componente é 3, e na direção do eixo
, a componente é 5.
Passo 3
Agora, vamos analisar o vetor
. Sabemos que o módulo de
é 6 e que ele faz um ângulo de
com o eixo
positivo. Para trabalhar com ele, precisamos encontrar suas componentes em
e
. Usamos as fórmulas:
onde
e
.
Passo 4
Calculando as componentes de
:
Então, o vetor
em componentes é aproximadamente:
Passo 5
Agora, vamos calcular o vetor
. Para somar vetores, somamos as componentes correspondentes:
Então,
.
Passo 6
Para encontrar o módulo de
, usamos a fórmula do módulo de um vetor:
Passo 7
Agora, vamos encontrar o ângulo que
forma com o eixo
positivo. Usamos a função tangente inversa:
Passo 8
Então, para o item (a), o vetor
tem módulo aproximadamente 8,80 e faz um ângulo de aproximadamente
com o eixo
positivo.
Passo 9
Agora, vamos resolver o item (b), onde precisamos encontrar
. Primeiro, subtraímos as componentes:
Então,
.
Passo 10
Calculando o módulo de
:
Passo 11
Para achar o ângulo que
forma com o eixo
positivo, usamos:
Como a componente
é negativa e a
é positiva, o vetor está no segundo quadrante. Calculando:
Para ajustar para o segundo quadrante:
Resposta
(a) O vetor
tem módulo aproximadamente
e faz um ângulo de
com o eixo
positivo.
(b) O vetor
tem módulo aproximadamente
e faz um ângulo de
com o eixo
positivo.
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