Um importante marco na evolução do Universo logo depois do Big Bang é o tempo de Planck
, cujo valor depende de três constantes fundamentais: 1) a velocidade da luz no vácuo (constante fundamental da relatividade),
a constante gravitacional de Newton (constante fundamental da gravidade),
; e 3) a constante de Planck (constante fundamental da mecânica quântica),
. O tempo de Planck fica determinado como:
De forma análoga, isto é, em termos das constantes
e
, como são calculados a massa e o comprimento de Planck,
e
respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Recebemos um exercício que fala sobre o tempo de Planck, que é um marco super importante logo após o Big Bang. A gente vai trabalhar com três constantes fundamentais da física: a velocidade da luz no vácuo
, a constante gravitacional de Newton
e a constante de Planck
. A gente já sabe que o tempo de Planck
é calculado usando essas constantes. Agora, o desafio é descobrir como calcular a massa de Planck
e o comprimento de Planck
também usando
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são essas constantes e por que elas são tão importantes. A velocidade da luz
é essencial na relatividade, relacionada com como a luz e outras coisas viajam no espaço. A constante gravitacional
está ligada à força da gravidade, basicamente como os objetos se atraem. Já a constante de Planck
é fundamental na mecânica quântica, que descreve o comportamento das partículas bem pequenas.
Passo 3
Para encontrar a massa de Planck
, precisamos combinar essas constantes de uma forma que a unidade de massa apareça. Sabemos que
tem unidades de
,
tem unidades de
e
tem unidades de
. Queremos chegar a uma expressão que nos dê uma massa, ou seja, em kg.
Passo 4
Vamos montar uma combinação das constantes que resulte em kg. A fórmula para a massa de Planck
é dada por:
Aqui, estamos pegando a constante de Planck
multiplicada pela velocidade da luz
, e dividindo pela constante gravitacional
. A raiz quadrada dessa combinação nos dá a massa de Planck.
Passo 5
Agora, vamos para o comprimento de Planck
. Para isso, precisamos combinar as mesmas constantes de uma forma que nos dê uma distância. Olhando para as unidades, queremos chegar a metros. A fórmula para o comprimento de Planck é:
Nessa expressão, estamos multiplicando
pela constante gravitacional
e dividindo pelo cubo da velocidade da luz
. A raiz quadrada dessa combinação nos dá o comprimento de Planck.
Resposta
As fórmulas para a massa de Planck
e o comprimento de Planck
em termos das constantes fundamentais são:
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. (b) o ângulo entre
e
.
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