Um importante marco na evolução do Universo logo depois do Big Bang é o tempo de Planck , cujo valor depende de três constantes fundamentais: 1) a velocidade da luz no vácuo (constante fundamental da relatividade), a constante gravitacional de Newton (constante fundamental da gravidade), ; e 3) a constante de Planck (constante fundamental da mecânica quântica), . O tempo de Planck fica determinado como:
De forma análoga, isto é, em termos das constantes e , como são calculados a massa e o comprimento de Planck, e respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Recebemos um exercício que fala sobre o tempo de Planck, que é um marco super importante logo após o Big Bang. A gente vai trabalhar com três constantes fundamentais da física: a velocidade da luz no vácuo , a constante gravitacional de Newton e a constante de Planck . A gente já sabe que o tempo de Planck é calculado usando essas constantes. Agora, o desafio é descobrir como calcular a massa de Planck e o comprimento de Planck também usando , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas constantes e por que elas são tão importantes. A velocidade da luz é essencial na relatividade, relacionada com como a luz e outras coisas viajam no espaço. A constante gravitacional está ligada à força da gravidade, basicamente como os objetos se atraem. Já a constante de Planck é fundamental na mecânica quântica, que descreve o comportamento das partículas bem pequenas.

Passo 3

Para encontrar a massa de Planck , precisamos combinar essas constantes de uma forma que a unidade de massa apareça. Sabemos que tem unidades de , tem unidades de e tem unidades de . Queremos chegar a uma expressão que nos dê uma massa, ou seja, em kg.

Passo 4

Vamos montar uma combinação das constantes que resulte em kg. A fórmula para a massa de Planck é dada por:
Aqui, estamos pegando a constante de Planck multiplicada pela velocidade da luz , e dividindo pela constante gravitacional . A raiz quadrada dessa combinação nos dá a massa de Planck.

Passo 5

Agora, vamos para o comprimento de Planck . Para isso, precisamos combinar as mesmas constantes de uma forma que nos dê uma distância. Olhando para as unidades, queremos chegar a metros. A fórmula para o comprimento de Planck é:
Nessa expressão, estamos multiplicando pela constante gravitacional e dividindo pelo cubo da velocidade da luz . A raiz quadrada dessa combinação nos dá o comprimento de Planck.

Resposta

As fórmulas para a massa de Planck e o comprimento de Planck em termos das constantes fundamentais são:

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