Mostre que
, com
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, quando aumentamos cada vez mais o valor de
, a raiz enésima de um número positivo
se aproxima de 1. Esse conceito faz parte do estudo de limites de sequências, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver isso, vamos usar propriedades de potências e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a expressão que queremos analisar:
Sabemos que a raiz enésima de
pode ser escrita como
. Então, a expressão fica:
Passo 3
Para facilitar a análise desse limite, vamos aplicar o logaritmo natural na expressão. Isso é útil porque o logaritmo transforma potências em multiplicações, o que simplifica os cálculos. Então, tomamos o logaritmo natural de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite dessa nova expressão:
Aqui,
é uma constante, já que
é um número positivo fixo. À medida que
cresce, o denominador
também cresce sem limites, fazendo com que a fração inteira se aproxime de 0.
Passo 5
Concluímos que:
Isso significa que o limite do logaritmo natural da nossa expressão original é 0:
Passo 6
Para encontrar o limite original, usamos a função exponencial, que é a inversa do logaritmo natural. Aplicando
a ambos os lados da equação, temos:
Resposta
Exercícios relacionados
Mostre que toda sequência monótona e limitada é convergente.
Se
e
, com
, prove que existe
tal que
implica
.
Uma das mais importantes sequência numéricas da Matemática é a sequência de Fibonacci
definida assim,
, e
para todo
, com
. Defina agora a sequência
assim,
, para todo
, com
e mostre que ela converge.
Se
, mostre que