Mostre que lim n infty raiz[n]a=1, com a in R^+.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, quando aumentamos cada vez mais o valor de , a raiz enésima de um número positivo se aproxima de 1. Esse conceito faz parte do estudo de limites de sequências, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver isso, vamos usar propriedades de potências e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a expressão que queremos analisar:
limn infty raiz[n]a
Sabemos que a raiz enésima de limn infty a^1/n pode ser escrita como . Então, a expressão fica:

Passo 3

Para facilitar a análise desse limite, vamos aplicar o logaritmo natural na expressão. Isso é útil porque o logaritmo transforma potências em multiplicações, o que simplifica os cálculos. Então, tomamos o logaritmo natural de ln(a^1/n) = 1n ln(a) :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa nova expressão:
limn infty ln(a)n
Aqui, é uma constante, já que é um número positivo fixo. À medida que cresce, o denominador também cresce sem limites, fazendo com que a fração inteira se aproxime de 0.

Passo 5

Concluímos que:
limn infty ln(a)n = 0
Isso significa que o limite do logaritmo natural da nossa expressão original é 0:
ln(limn infty a^1/n) = 0

Passo 6

Para encontrar o limite original, usamos a função exponencial, que é a inversa do logaritmo natural. Aplicando limn infty a^1/n = e^0 = 1 a ambos os lados da equação, temos:

Resposta

limn infty raiz[n]a = 1

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