Mostre que , com .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, quando aumentamos cada vez mais o valor de , a raiz enésima de um número positivo se aproxima de 1. Esse conceito faz parte do estudo de limites de sequências, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver isso, vamos usar propriedades de potências e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a expressão que queremos analisar:
Sabemos que a raiz enésima de pode ser escrita como . Então, a expressão fica:

Passo 3

Para facilitar a análise desse limite, vamos aplicar o logaritmo natural na expressão. Isso é útil porque o logaritmo transforma potências em multiplicações, o que simplifica os cálculos. Então, tomamos o logaritmo natural de :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa nova expressão:
Aqui, é uma constante, já que é um número positivo fixo. À medida que cresce, o denominador também cresce sem limites, fazendo com que a fração inteira se aproxime de 0.

Passo 5

Concluímos que:
Isso significa que o limite do logaritmo natural da nossa expressão original é 0:

Passo 6

Para encontrar o limite original, usamos a função exponencial, que é a inversa do logaritmo natural. Aplicando a ambos os lados da equação, temos:

Resposta

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Se e , com , prove que existe tal que implica .
Uma das mais importantes sequência numéricas da Matemática é a sequência de Fibonacci
definida assim, , e para todo , com . Defina agora a sequência assim, , para todo , com e mostre que ela converge.
Se , mostre que