Mostre que toda sequência monótona e limitada é convergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente mostre que toda sequência monótona e limitada é convergente. Isso tudo faz parte do estudo de sucessões na matemática, mais especificamente na análise de como as sequências se comportam conforme avançamos no tempo. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser monótona e limitada, e como essas propriedades garantem que a sequência tenha um limite, ou seja, que ela converge.
Passo 2
Vamos começar definindo o que é uma sequência monótona. Uma sequência é monótona se ela é crescente ou decrescente.
- Sequência Crescente: Cada termo é maior ou igual ao termo anterior. Formalmente, para todo
, . - Sequência Decrescente: Cada termo é menor ou igual ao termo anterior. Ou seja, para todo
, .
Agora, uma sequência é limitada se existe um número que serve como limite superior e outro que serve como limite inferior para todos os termos da sequência.
- Limitada Superiormente: Existe um número
tal que para todo . - Limitada Inferiormente: Existe um número
tal que para todo .
Passo 3
O próximo passo é entender o Teorema da Convergência Monótona. Esse teorema diz que toda sequência monótona e limitada é convergente. Ou seja, se a sequência está sempre aumentando ou sempre diminuindo e não “sai” de um certo intervalo, ela vai se aproximar de um valor específico à medida que
cresce.
Passo 4
Vamos considerar duas situações: quando a sequência é crescente e quando é decrescente.
-
Sequência Crescente e Limitada Superiormente:
- Como a sequência é crescente,
está se aproximando de seu limite superior, que é o menor número que é maior ou igual a todos os termos da sequência. - Esse limite existe porque a sequência é limitada superiormente.
- Como a sequência é crescente,
-
Sequência Decrescente e Limitada Inferiormente:
- Aqui,
está se aproximando de seu limite inferior, que é o maior número que é menor ou igual a todos os termos da sequência. - Esse limite também existe devido à limitação inferior.
- Aqui,
Passo 5
Vamos formalizar isso usando o conceito de supremo e ínfimo.
- Para uma sequência crescente limitada superiormente, o supremo (o menor limite superior) é o limite da sequência.
- Para uma sequência decrescente limitada inferiormente, o ínfimo (o maior limite inferior) é o limite da sequência.
Isso garante que, independentemente de ser crescente ou decrescente, a sequência irá convergir para esse supremo ou ínfimo.
Resposta
Portanto, demonstramos que qualquer sequência monótona e limitada realmente converge, ou seja, possui um limite conforme
tende ao infinito.