Mostre que toda sequência monótona e limitada é convergente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente mostre que toda sequência monótona e limitada é convergente. Isso tudo faz parte do estudo de sucessões na matemática, mais especificamente na análise de como as sequências se comportam conforme avançamos no tempo. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser monótona e limitada, e como essas propriedades garantem que a sequência tenha um limite, ou seja, que ela converge.

Passo 2

Vamos começar definindo o que é uma sequência monótona. Uma sequência é monótona se ela é crescente ou decrescente.
  • Sequência Crescente: Cada termo é maior ou igual ao termo anterior. Formalmente, para todo , .
  • Sequência Decrescente: Cada termo é menor ou igual ao termo anterior. Ou seja, para todo , .
Agora, uma sequência é limitada se existe um número que serve como limite superior e outro que serve como limite inferior para todos os termos da sequência.
  • Limitada Superiormente: Existe um número tal que para todo .
  • Limitada Inferiormente: Existe um número tal que para todo .

Passo 3

O próximo passo é entender o Teorema da Convergência Monótona. Esse teorema diz que toda sequência monótona e limitada é convergente. Ou seja, se a sequência está sempre aumentando ou sempre diminuindo e não “sai” de um certo intervalo, ela vai se aproximar de um valor específico à medida que cresce.

Passo 4

Vamos considerar duas situações: quando a sequência é crescente e quando é decrescente.
  1. Sequência Crescente e Limitada Superiormente:
    • Como a sequência é crescente, está se aproximando de seu limite superior, que é o menor número que é maior ou igual a todos os termos da sequência.
    • Esse limite existe porque a sequência é limitada superiormente.
  2. Sequência Decrescente e Limitada Inferiormente:
    • Aqui, está se aproximando de seu limite inferior, que é o maior número que é menor ou igual a todos os termos da sequência.
    • Esse limite também existe devido à limitação inferior.

Passo 5

Vamos formalizar isso usando o conceito de supremo e ínfimo.
  • Para uma sequência crescente limitada superiormente, o supremo (o menor limite superior) é o limite da sequência.
  • Para uma sequência decrescente limitada inferiormente, o ínfimo (o maior limite inferior) é o limite da sequência.
Isso garante que, independentemente de ser crescente ou decrescente, a sequência irá convergir para esse supremo ou ínfimo.

Resposta

Portanto, demonstramos que qualquer sequência monótona e limitada realmente converge, ou seja, possui um limite conforme tende ao infinito.

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