In each of Problems 13 through 20 find the solution of the given initial value problem,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial inicial. A gente tem uma equação do tipo
com a condição inicial
. A matéria envolvida aqui é sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a equação está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Esse fator vai ajudar a simplificar a equação para que possamos integrar facilmente.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando, temos:
Isso porque o lado esquerdo agora é a derivada do produto
.
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Integrando, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
, temos:
Passo 7
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor da constante
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: