In each of Problems 13 through 20 find the solution of the given initial value problem,
y' + 2y = t e^(-2t), y(1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial inicial. A gente tem uma equação do tipo com a condição inicial . A matéria envolvida aqui é sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a equação está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem: . No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Esse fator vai ajudar a simplificar a equação para que possamos integrar facilmente.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando, temos:
Isso porque o lado esquerdo agora é a derivada do produto .

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a t:
Integrando, obtemos:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para y, temos:

Passo 7

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor da constante C:
Multiplicando ambos os lados por e^2:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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