In each of Problems 13 through 20 find the solution of the given initial value problem,
t^3 y' + 4 t^2 y = e^(-t), y(-1) = 0, t < 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrarmos a solução de um problema de valor inicial em uma equação diferencial. Estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem, especificamente uma equação linear. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação, encontrar um fator integrante e aplicar a condição inicial para determinar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada:
Nosso objetivo é colocar essa equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos toda a equação por :
Agora temos e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é essencial para resolver a equação linear. O fator integrante é dado por:
Substituindo :
Como , podemos simplificar para , já que elevar um número negativo a uma potência par resulta em um número positivo.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela fator integrante :
Simplificando o lado direito:
Agora, a equação à esquerda pode ser escrita como a derivada do produto :

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo simplesmente nos dá . Para a integral do lado direito, podemos usar integração por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Então:

Passo 6

Agora, resolvemos para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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