In each of Problems 13 through 20 find the solution of the given initial value problem,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrarmos a solução de um problema de valor inicial em uma equação diferencial. Estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem, especificamente uma equação linear. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação, encontrar um fator integrante e aplicar a condição inicial para determinar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada:
Nosso objetivo é colocar essa equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos toda a equação por
:
Agora temos
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é essencial para resolver a equação linear. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Como
, podemos simplificar para
, já que elevar um número negativo a uma potência par resulta em um número positivo.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Agora, a equação à esquerda pode ser escrita como a derivada do produto
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplesmente nos dá
. Para a integral do lado direito, podemos usar integração por partes, onde:
-
⇒ -
⇒
Aplicando integração por partes:
Então:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é: