In each of Problems 13 through 20 find the solution of the given initial value problem,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem e um valor inicial. Vamos usar conhecimentos de equações lineares de primeira ordem e fator integrante para encontrar a solução. Precisaremos lembrar como identificar o fator integrante e aplicar a técnica de integração adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para ficar no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
No nosso caso, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai facilitar a resolução da equação. O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular isso:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
Observe que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Isso acontece porque:
Então, podemos reescrever a equação como:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial fornecida no problema:
. Substituindo
na expressão de
:
Sabemos que
, então:
Resposta
Portanto, a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: