In each of Problems 13 through 20 find the solution of the given initial value problem,
y' + (2 / t) y = cos(t) / t^2, y(pi) = 0, t > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem e um valor inicial. Vamos usar conhecimentos de equações lineares de primeira ordem e fator integrante para encontrar a solução. Precisaremos lembrar como identificar o fator integrante e aplicar a técnica de integração adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para ficar no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
No nosso caso, temos:
Aqui, e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai facilitar a resolução da equação. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular isso:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

Observe que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Isso acontece porque:
Então, podemos reescrever a equação como:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Para encontrar , dividimos ambos os lados por :

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial fornecida no problema: . Substituindo na expressão de :
Sabemos que , então:

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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