In each of Problems 21 through 23:
y' - 1/2 y = 2 cos t, y(0) = a

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. Ela está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral usando integração por partes ou fórmula de integração de funções exponenciais multiplicadas por cosseno. O resultado dessa integral é:

Passo 7

Substituindo de volta na equação anterior:
Simplificando:

Passo 8

Multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Passo 10

Substituímos de volta na solução geral:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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