In each of Problems 21 through 23:
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. Ela está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral
usando integração por partes ou fórmula de integração de funções exponenciais multiplicadas por cosseno. O resultado dessa integral é:
Passo 7
Substituindo de volta na equação anterior:
Simplificando:
Passo 8
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Passo 10
Substituímos
de volta na solução geral:
Resposta
A solução da equação diferencial é: