In each of Problems 13 through 20 find the solution of the given initial value problem,
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que queremos resolver é:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver essa equação diferencial de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão para facilitar a aplicação do método do fator integrante. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é:
Comparando com a nossa equação, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante,
, é dado por:
Substituindo o valor de
:
Passo 4
Em seguida, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante com
. Ou seja:
Isso aconteceu porque:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar
:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de
. Sabemos que quando
,
:
Resposta
Portanto, a solução da equação diferencial é: