In each of Problems 13 through 20 find the solution of the given initial value problem,
y' - 2y = e^(2t), y(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que queremos resolver é:
Aqui, y' representa a derivada de y em relação a t. Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver essa equação diferencial de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão para facilitar a aplicação do método do fator integrante. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é:
Comparando com a nossa equação, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante, , é dado por:
Substituindo o valor de P(t):

Passo 4

Em seguida, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante com y. Ou seja:
Isso aconteceu porque:

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar y:
Integrando:
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Para isolar y, multiplicamos ambos os lados por :

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de C. Sabemos que quando , :

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial é:

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