In each of Problems 16 through 18, find the Laplace transform of the given function.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace juntos! O que a gente tem aqui é uma função definida por partes, ou seja, ela muda de comportamento em diferentes intervalos de tempo. Nosso objetivo é encontrar a transformada de Laplace dessa função, que vai ser uma função de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. É uma ferramenta matemática usada pra transformar uma função do tempo para o domínio de frequência . A fórmula básica é:
Como nossa função é definida em pedaços, vamos dividir a integral conforme os intervalos de cada parte da função.
Passo 3
Vamos identificar os intervalos:
De a :
De a :
De em diante:
Então, nossa transformada vai ser a soma das integrais nesses intervalos.
Passo 4
Calculando a transformada para cada intervalo:
De 0 a 1:
Usamos integração por partes aqui.
De 1 a 2:
Também aplicamos integração por partes.
De 2 em diante:
Essa parte não contribui para a transformada.
Passo 5
Vamos resolver a primeira integral:
Agora, a segunda integral:
Vamos separar e integrar cada termo:
Calculando cada parte:
Para a segunda parte, aplicamos integração por partes novamente:
Resposta
Somando todas as partes, a transformada de Laplace da função é: