In each of Problems 16 through 18, find the Laplace transform of the given function.
f(t) = { t, 0 <= t < 1; 2 - t, 1 <= t < 2; 0, 2 <= t < infinito }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace juntos! O que a gente tem aqui é uma função definida por partes, ou seja, ela muda de comportamento em diferentes intervalos de tempo. Nosso objetivo é encontrar a transformada de Laplace dessa função, que vai ser uma função de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. É uma ferramenta matemática usada pra transformar uma função do tempo para o domínio de frequência . A fórmula básica é:
Como nossa função é definida em pedaços, vamos dividir a integral conforme os intervalos de cada parte da função.

Passo 3

Vamos identificar os intervalos:
  1. De a :
  2. De a :
  3. De em diante:
Então, nossa transformada vai ser a soma das integrais nesses intervalos.

Passo 4

Calculando a transformada para cada intervalo:
  1. De 0 a 1:
Usamos integração por partes aqui.
  1. De 1 a 2:
Também aplicamos integração por partes.
  1. De 2 em diante:
Essa parte não contribui para a transformada.

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral:
Agora, a segunda integral:
Vamos separar e integrar cada termo:
Calculando cada parte:
Para a segunda parte, aplicamos integração por partes novamente:

Resposta

Somando todas as partes, a transformada de Laplace da função é:
Podemos simplificar esse resultado para:

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