In each of Problems 6 through 7, use the linearity of the Laplace transform to find the Laplace transform of the given function; a and b are real constants.
f(t) = sinh(b t)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a Transformada de Laplace da função . Para isso, vamos usar a propriedade da linearidade da Transformada de Laplace. Vamos precisar lembrar como calcular a Transformada de Laplace de funções exponenciais e entender a definição da função seno hiperbólico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por:
Ela transforma uma função do tempo t para uma função do domínio da frequência s, facilitando a resolução de equações diferenciais.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a definição da função seno hiperbólico. A função é definida por:
Essa expressão nos ajuda a escrever em termos de funções exponenciais, que são mais fáceis de transformar.

Passo 4

Usando a definição de , podemos reescrever a Transformada de Laplace da seguinte forma:
Pela propriedade da linearidade da Transformada de Laplace, isso se torna:

Passo 5

Sabemos que a Transformada de Laplace de uma função exponencial é:
Aplicando isso aos termos que temos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão acima:

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

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