In each of Problems 6 through 7, use the linearity of the Laplace transform to find the Laplace transform of the given function;
and
are real constants.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a Transformada de Laplace da função
. Para isso, vamos usar a propriedade da linearidade da Transformada de Laplace. Vamos precisar lembrar como calcular a Transformada de Laplace de funções exponenciais e entender a definição da função seno hiperbólico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Ela transforma uma função do tempo
para uma função do domínio da frequência
, facilitando a resolução de equações diferenciais.
Passo 3
Agora, vamos lembrar a definição da função seno hiperbólico. A função
é definida por:
Essa expressão nos ajuda a escrever
em termos de funções exponenciais, que são mais fáceis de transformar.
Passo 4
Usando a definição de
, podemos reescrever a Transformada de Laplace da seguinte forma:
Pela propriedade da linearidade da Transformada de Laplace, isso se torna:
Passo 5
Sabemos que a Transformada de Laplace de uma função exponencial
é:
Aplicando isso aos termos que temos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão acima:
Resposta
A Transformada de Laplace de
é: