Leia com atenção, resolva cada questão de forma organizada justificando suas respostas.
Calcule as derivadas das funções
dadas
:
Calcule as derivadas das funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função
. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente o uso da regra da cadeia e da regra do produto. Vamos precisar lembrar como derivar funções exponenciais e lidar com produtos dentro do expoente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função composta que estamos lidando. Temos
, onde
. Para derivar
, vamos usar a regra da cadeia, que diz que a derivada de
é
multiplicado pela derivada de
, ou seja:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
, a derivada de
. Aqui, temos um produto de duas funções:
e
. Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que é:
No nosso caso,
e
. Primeiro, vamos derivar cada uma dessas funções.
Passo 4
Vamos começar derivando
. Lembrando que
, então usando a regra do poder, a derivada é:
Aplicando isso:
Passo 5
Agora, vamos derivar
. Sabemos que:
Passo 6
Aplicando a regra do produto para
:
Simplificando a segunda parte:
Então:
Lembrando que tínhamos um sinal negativo original em
, então:
Passo 7
Agora que temos
, podemos voltar à derivada original:
Simplificando os sinais:
Resposta
A derivada da função é: