In each of Problems 8 through 11, use the linearity of the Laplace transform to find the Laplace transform of the given function; a and b are real constants. Assume that the necessary elementary integration formulas extend to this case.
f(t) = cos(b t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função . Para isso, vamos usar a propriedade da linearidade da transformada de Laplace. Basicamente, vamos transformar essa função trigonométrica em uma expressão que a gente possa lidar mais facilmente no domínio da transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. É uma ferramenta matemática que transforma uma função do tempo em uma função no domínio complexo . A equação geral para a transformada de Laplace é:
Aqui, é uma variável complexa.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para a nossa função . Substituindo na fórmula da transformada de Laplace, temos:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos lembrar de uma fórmula de integração que envolve funções exponenciais e cossenos. A integral de de 0 a infinito é conhecida e pode ser calculada usando técnicas de integração por partes ou fórmulas de integrais tabeladas. A solução dessa integral é:

Passo 5

Portanto, colocando tudo junto, a transformada de Laplace de fica:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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