In each of Problems 8 through 11, use the linearity of the Laplace transform to find the Laplace transform of the given function;
and
are real constants. Assume that the necessary elementary integration formulas extend to this case.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função
. Para isso, vamos usar a propriedade da linearidade da transformada de Laplace. Basicamente, vamos transformar essa função trigonométrica em uma expressão que a gente possa lidar mais facilmente no domínio da transformada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. É uma ferramenta matemática que transforma uma função do tempo
em uma função no domínio complexo
. A equação geral para a transformada de Laplace é:
Aqui,
é uma variável complexa.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição para a nossa função
. Substituindo na fórmula da transformada de Laplace, temos:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos lembrar de uma fórmula de integração que envolve funções exponenciais e cossenos. A integral de
de 0 a infinito é conhecida e pode ser calculada usando técnicas de integração por partes ou fórmulas de integrais tabeladas. A solução dessa integral é:
Passo 5
Portanto, colocando tudo junto, a transformada de Laplace de
fica:
Resposta
A transformada de Laplace de
é: