Seja
.
© Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
© Determine a taxa de variação de
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente encontrar a taxa de variação da função
no ponto
na direção do vetor
. Isso significa que vamos calcular a derivada direcional de
em
na direção de
. Para isso, vamos precisar entender de gradientes e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Então:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor unitário na direção de
. Para isso, calculamos o módulo de
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 4
A derivada direcional
é dada pelo produto escalar do gradiente de
em
com o vetor unitário
:
Simplificando:
Resposta
A taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
é: