Seja f(x, y) = x^2 * y^3 - y^4.
© Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor v = <3, 4>.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente encontrar a taxa de variação da função no ponto na direção do vetor . Isso significa que vamos calcular a derivada direcional de em na direção de . Para isso, vamos precisar entender de gradientes e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Então:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor unitário na direção de . Para isso, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 4

A derivada direcional é dada pelo produto escalar do gradiente de em com o vetor unitário :
Simplificando:

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção do vetor é:

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