In each of Problems 8 through 11, use the linearity of the Laplace transform to find the Laplace transform of the given function;
and
are real constants. Assume that the necessary elementary integration formulas extend to this case.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
e precisamos encontrar a Transformada de Laplace dessa função usando a propriedade da linearidade. Para isso, vamos utilizar conceitos da Transformada de Laplace, que nos ajuda a transformar funções do domínio do tempo para o domínio de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Essa integral transforma a função
do tempo
para uma função de
, que é uma variável complexa.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a propriedade da linearidade da Transformada de Laplace. A linearidade nos permite separar a transformada de uma soma de funções em uma soma das transformadas dessas funções, e também podemos fatorar constantes. No nosso caso, temos uma função que é o produto de
e
.
Passo 4
Existe uma fórmula específica para a Transformada de Laplace de funções do tipo
. A fórmula é:
Essa fórmula é derivada aplicando a definição da Transformada de Laplace e utilizando identidades trigonométricas e integrais conhecidas.
Passo 5
Aplicando a fórmula à nossa função
, temos:
Resposta
A Transformada de Laplace de
é: