In each of Problems 8 through 11, use the linearity of the Laplace transform to find the Laplace transform of the given function; a and b are real constants. Assume that the necessary elementary integration formulas extend to this case.
f(t) = e^(a t) cos(b t)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função e precisamos encontrar a Transformada de Laplace dessa função usando a propriedade da linearidade. Para isso, vamos utilizar conceitos da Transformada de Laplace, que nos ajuda a transformar funções do domínio do tempo para o domínio de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função é dada por:
Essa integral transforma a função do tempo para uma função de , que é uma variável complexa.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a propriedade da linearidade da Transformada de Laplace. A linearidade nos permite separar a transformada de uma soma de funções em uma soma das transformadas dessas funções, e também podemos fatorar constantes. No nosso caso, temos uma função que é o produto de e .

Passo 4

Existe uma fórmula específica para a Transformada de Laplace de funções do tipo . A fórmula é:
Essa fórmula é derivada aplicando a definição da Transformada de Laplace e utilizando identidades trigonométricas e integrais conhecidas.

Passo 5

Aplicando a fórmula à nossa função , temos:

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

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