The Gamma Function. The gamma function is denoted by Gamma(p) and is defined by the integral
Gamma(p+1)=integral0^infty e^-x x^p d x
The integral converges as x infty for all p. For p<0 it is also improper at x=0, because the integrand becomes unbounded as x 0. However, the integral can be shown to converge at x=0 for p>-1.
Show that Gamma(1)=1.

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que a função gama, , é igual a 1. A função gama é definida pela integral . Vamos usar essa definição para calcular .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, para encontrar , basta substituir na definição da função gama. Isso porque com .

Passo 3

Então, temos:
Gamma(1) = integral0^infty e^-x x^0 dx
Como Gamma(1) = integral0^infty e^-x cdot 1 , dx = integral0^infty e^-x dx para qualquer , a integral simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral integral e^-x dx = -e^-x + C . Sabemos que a integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando os limites da integral de [-e^-x]0^infty = limx to infty (-e^-x) - (-e^0) = 0 - (-1) = 1 a :
Isso porque quando tende ao infinito, tende a zero, e .

Resposta

Gamma(1) = 1

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