The Gamma Function. The gamma function is denoted by
and is defined by the integral
The integral converges as
for all
. For
it is also improper at
, because the integrand becomes unbounded as
. However, the integral can be shown to converge at
for
.
Show that
.
Show that
Passo 1
Então, a gente tem que mostrar que a função gama,
, é igual a 1. A função gama é definida pela integral
. Vamos usar essa definição para calcular
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que, para encontrar
, basta substituir
na definição da função gama. Isso porque
com
dá
.
Passo 3
Então, temos:
Como
para qualquer
, a integral simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral
. Sabemos que a integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Aplicando os limites da integral de
a
:
Isso porque quando
tende ao infinito,
tende a zero, e
.