In natural-convection problems, the variation of density due to the temperature difference
creates an important buoyancy term in the momentum equation. If a warm gas at
moves through a gas at temperature
and if the density change is only due to temperature changes the equation of motion becomes
Show that the ratio of gravity (buoyancy) to inertial forces acting on a fluid element is
where
and
are reference lengths and velocity, respectively.
Passo 1
Então, a gente tem um problema de convecção natural onde a variação de densidade causada pela diferença de temperatura
gera um termo de empuxo importante na equação do movimento. A questão pede para mostrar que a razão entre as forças de gravidade (ou empuxo) e as forças inerciais que atuam em um elemento de fluido é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de dinâmica de fluidos, especificamente forças de empuxo e inerciais, além de como a temperatura afeta a densidade do fluido.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas forças que estamos comparando:
- Força de Empuxo (Gravidade): Devido à diferença de densidade causada pela variação de temperatura.
- Força Inercial: Relacionada à aceleração do fluido.
Entender essas forças nos ajuda a ver como a temperatura influencia o movimento do fluido.
Passo 3
Vamos expressar matematicamente cada uma dessas forças.
- Força de Empuxo: Pode ser expressa como
, onde: -
é a densidade do fluido, -
é a aceleração da gravidade, -
é o volume do fluido afetado.
-
Considerando a variação de densidade devido à temperatura, temos
, onde
é a densidade de referência.
- Força Inercial: É dada por
, onde: -
é a massa do fluido, -
é a aceleração.
-
Como a velocidade característica é
e o comprimento de referência é
, a aceleração pode ser estimada como
. Então, a força inercial fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a razão entre a força de empuxo e a força inercial:
Mas lembrando que a densidade
varia com a temperatura, temos que incluir o termo
para representar essa variação:
Resposta
A razão entre as forças de gravidade (empuxo) e as forças inerciais que atuam em um elemento de fluido é: