In natural-convection problems, the variation of density due to the temperature difference De creates an important buoyancy term in the momentum equation. If a warm gas at TH moves through a gas at temperature T0 and if the density change is only due to temperature changes the equation of motion becomes
rho D vD t=-nabla P+mu nabla^2 v+rho g(THT0-1)
Show that the ratio of gravity (buoyancy) to inertial forces acting on a fluid element is
L gV0^2(THT0-1)
where L and V0 are reference lengths and velocity, respectively.

Passo 1

Então, a gente tem um problema de convecção natural onde a variação de densidade causada pela diferença de temperatura De gera um termo de empuxo importante na equação do movimento. A questão pede para mostrar que a razão entre as forças de gravidade (ou empuxo) e as forças inerciais que atuam em um elemento de fluido é dada por:
L gV0^2(THT0-1)
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de dinâmica de fluidos, especificamente forças de empuxo e inerciais, além de como a temperatura afeta a densidade do fluido.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas forças que estamos comparando:
  1. Força de Empuxo (Gravidade): Devido à diferença de densidade causada pela variação de temperatura.
  2. Força Inercial: Relacionada à aceleração do fluido.
Entender essas forças nos ajuda a ver como a temperatura influencia o movimento do fluido.

Passo 3

Vamos expressar matematicamente cada uma dessas forças.
  • Força de Empuxo: Pode ser expressa como rho g V, onde:
    • rho é a densidade do fluido,
    • g é a aceleração da gravidade,
    • V é o volume do fluido afetado.
Considerando a variação de densidade devido à temperatura, temos rho = rho0 (THT0), onde rho0 é a densidade de referência.
  • Força Inercial: É dada por m a, onde:
    • m é a massa do fluido,
    • a é a aceleração.
Como a velocidade característica é V0 e o comprimento de referência é L, a aceleração pode ser estimada como V0^2L. Então, a força inercial fica:
Finercial = rho V V0^2L

Passo 4

Agora, vamos calcular a razão entre a força de empuxo e a força inercial:
FempuxoFinercial = rho g Vrho V V0^2L = g LV0^2
Mas lembrando que a densidade rho varia com a temperatura, temos que incluir o termo (THT0 - 1) para representar essa variação:
FempuxoFinercial = L gV0^2(THT0-1)

Resposta

A razão entre as forças de gravidade (empuxo) e as forças inerciais que atuam em um elemento de fluido é:
L gV0^2(THT0-1)

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