The power,
, required to run a compressor varies with compressor diameter
, angular velocity
, volume flow rate
, fluid density
, and fluid viscosity
. Develop a relation
between these variables by dimensional analysis, where fluid viscosity and angular velocity appear in only one dimensionless parameter.
between these variables by dimensional analysis, where fluid viscosity and angular velocity appear in only one dimensionless parameter.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma relação entre a potência
necessária para operar um compressor e as variáveis: diâmetro do compressor
, velocidade angular
, taxa de fluxo volumétrico
, densidade do fluido
e viscosidade do fluido
. Para isso, vamos usar a análise dimensional, que nos ajuda a relacionar essas variáveis sem precisar resolver a equação completa. Além disso, a questão pede que a viscosidade
e a velocidade angular
apareçam juntas em apenas um parâmetro adimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos listar as dimensões de cada variável envolvida:
- Potência,
: - Diâmetro,
: - Velocidade angular,
: - Taxa de fluxo volumétrico,
: - Densidade,
: - Viscosidade,
:
Aqui,
representa massa,
comprimento e
tempo.
Passo 3
Agora, usamos o método de Buckingham Pi para formar grupos adimensionais. Precisamos igualar o número de grupos adimensionais ao número de variáveis menos o número de equações dimensionais independentes (que são três:
,
,
).
Temos 6 variáveis, então formaremos
grupos adimensionais. Como queremos que
e
apareçam juntas em um único parâmetro, vamos decidir que um dos grupos será
.
Passo 4
Agora, formamos os outros dois grupos adimensionais usando as outras variáveis. Vamos escolher
e
.
Por exemplo:
Esses grupos são formados de forma a que cada um seja adimensional, ou seja, sem unidades.
Passo 5
Com os grupos adimensionais formados, podemos escrever a relação entre eles. Geralmente, essa relação é uma função:
Substituindo os grupos que encontramos:
Passo 6
Para simplificar, assumimos uma relação linear ou uma combinação simples dos grupos. Uma possibilidade é:
Simplificando os termos:
Passo 7
Finalmente, isolamos a potência
para expressar a relação desejada:
Simplificando:
Resposta
A relação entre as variáveis é: