The power, P, required to run a compressor varies with compressor diameter D, angular velocity omega, volume flow rate Q, fluid density rho, and fluid viscosity mu. Develop a relation
between these variables by dimensional analysis, where fluid viscosity and angular velocity appear in only one dimensionless parameter.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma relação entre a potência necessária para operar um compressor e as variáveis: diâmetro do compressor , velocidade angular , taxa de fluxo volumétrico , densidade do fluido e viscosidade do fluido . Para isso, vamos usar a análise dimensional, que nos ajuda a relacionar essas variáveis sem precisar resolver a equação completa. Além disso, a questão pede que a viscosidade e a velocidade angular apareçam juntas em apenas um parâmetro adimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as dimensões de cada variável envolvida:
  • Potência, :
  • Diâmetro, :
  • Velocidade angular, :
  • Taxa de fluxo volumétrico, :
  • Densidade, :
  • Viscosidade, :
Aqui, representa massa, comprimento e tempo.

Passo 3

Agora, usamos o método de Buckingham Pi para formar grupos adimensionais. Precisamos igualar o número de grupos adimensionais ao número de variáveis menos o número de equações dimensionais independentes (que são três: , , ).
Temos 6 variáveis, então formaremos grupos adimensionais. Como queremos que e apareçam juntas em um único parâmetro, vamos decidir que um dos grupos será .

Passo 4

Agora, formamos os outros dois grupos adimensionais usando as outras variáveis. Vamos escolher e .
Por exemplo:
Esses grupos são formados de forma a que cada um seja adimensional, ou seja, sem unidades.

Passo 5

Com os grupos adimensionais formados, podemos escrever a relação entre eles. Geralmente, essa relação é uma função:
Pi1 = f(Pi2, Pi3)
Substituindo os grupos que encontramos:
mu cdot omega = f(Prho D^2 omega^3, QD^3 omega)

Passo 6

Para simplificar, assumimos uma relação linear ou uma combinação simples dos grupos. Uma possibilidade é:
mu cdot omega = Prho D^2 omega^3 cdot QD^3 omega
Simplificando os termos:
mu cdot omega = P Qrho D^5 omega^4

Passo 7

Finalmente, isolamos a potência P = mu cdot omega cdot rho D^5 omega^4 / Q para expressar a relação desejada:
P = mu rho D^5 omega^5Q
Simplificando:

Resposta

A relação entre as variáveis é:
P = mu rho D^5 omega^5Q

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