In Problems 1-18 use Definition 7.1.1 to find .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a Transformada de Laplace de usando a definição da Transformada de Laplace (provavelmente a Definição 7.1.1). A matéria aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta que ajuda a transformar funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver, vamos precisar da definição da Transformada de Laplace e de técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Laplace. Para uma função , a Transformada de Laplace é dada por:
Isso significa que vamos integrar a função multiplicada por de 0 até o infinito.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função :

Passo 4

Podemos simplificar a expressão dentro da integral combinando os expoentes:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral:
Essa é uma integral padrão da forma:
onde e .

Passo 6

Aplicando a fórmula:

Resposta

Portanto, a Transformada de Laplace de é:

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Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Use this definition to show that .
We have encountered the gamma function in our study of Bessel functions in Section 6.4 (page 258). One definition of this function is given by the improper integral
In Problems 43-46 use Problems 41 and 42 and the fact that to find the Laplace transform of the given function.