Use this definition to show that Gamma(alpha+1)=alpha Gamma(alpha).
We have encountered the gamma function Gamma(alpha) in our study of Bessel functions in Section 6.4 (page 258). One definition of this function is given by the improper integral
Gamma(alpha)=integral0^infty t^alpha-1 e^-t d t, alpha 0

Passo 1

No problema, precisamos mostrar que Gamma(alpha +1) = alpha Gamma(alpha) usando a definição da função Gamma. Vamos usar o conceito de integração e a técnica de integração por partes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da função Gamma:
Gamma(alpha) = integral0^infty t^alpha-1 e^-t , dt
Queremos encontrar uma expressão para Gamma(alpha +1) usando essa definição.

Passo 3

Substituindo alpha +1 na definição da função Gamma, temos:
Gamma(alpha +1) = integral0^infty t^(alpha +1)-1 e^-t , dt = integral0^infty t^alpha e^-t , dt
Agora, vamos usar integração por partes para resolver essa integral.

Passo 4

Lembrando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
u = t^alpha Rightarrow du = alpha t^alpha -1 , dt
dv = e^-t , dt Rightarrow v = -e^-t

Passo 5

Aplicando integração por partes:
Gamma(alpha +1) = [ -t^alpha e^-t ]0^infty + alpha integral0^infty t^alpha -1 e^-t , dt
Agora, vamos analisar o termo de fronteira.

Passo 6

Observamos que:
limt to infty t^alpha e^-t = 0 e t^alpha e^-t g|t=0 = 0
Portanto, o termo de fronteira é zero, e a expressão simplifica para:
Gamma(alpha +1) = alpha integral0^infty t^alpha -1 e^-t , dt = alpha Gamma(alpha)

Resposta

Gamma(alpha +1) = alpha Gamma(alpha)

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