Use this definition to show that .
We have encountered the gamma function in our study of Bessel functions in Section 6.4 (page 258). One definition of this function is given by the improper integral

Passo 1

No problema, precisamos mostrar que usando a definição da função Gamma. Vamos usar o conceito de integração e a técnica de integração por partes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da função Gamma:
Queremos encontrar uma expressão para usando essa definição.

Passo 3

Substituindo na definição da função Gamma, temos:
Agora, vamos usar integração por partes para resolver essa integral.

Passo 4

Lembrando a fórmula de integração por partes:
Vamos escolher:

Passo 5

Aplicando integração por partes:
Agora, vamos analisar o termo de fronteira.

Passo 6

Observamos que:
Portanto, o termo de fronteira é zero, e a expressão simplifica para:

Resposta

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In Problems 1-18 use Definition 7.1.1 to find .
In Problems 1-18 use Definition 7.1.1 to find .
In Problems 43-46 use Problems 41 and 42 and the fact that to find the Laplace transform of the given function.
In Problems 19-36 use Theorem 7.1.1 to find .