In Problems 43-46 use Problems 41 and 42 and the fact that
to find the Laplace transform of the given function.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função
. Para isso, vamos usar conceitos de transformada de Laplace e a função gama (
). A Transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma uma função do tempo
para uma função na variável
, facilitando muito em resolver equações diferenciais. A gente também vai precisar lembrar que
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição da Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função
é dada por:
No nosso caso,
. Então, substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos conectar isso com a função gama. A função gama é definida como:
Perceba que nossa integral da Transformada de Laplace se parece com a definição da função gama, mas com algumas diferenças. Para alinharmos isso, vamos fazer uma substituição.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Assim,
e
. Substituindo na integral:
Simplificando os termos de
:
Passo 5
A integral que sobrhou é exatamente a definição da função gama para
:
Sabemos que:
Esse resultado pode ser derivado usando propriedades da função gama, mas para simplificar, vamos usar esse valor diretamente.
Passo 6
Agora, substituímos o valor de
na expressão da transformada:
Resposta
A Transformada de Laplace de
é:
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Use this definition to show that
.
We have encountered the gamma function in our study of Bessel functions in Section 6.4 (page 258). One definition of this function is given by the improper integral
We have encountered the gamma function
In Problems 1-18 use Definition 7.1.1 to find
.
In Problems 19-36 use Theorem 7.1.1 to find
.
In Problems 19-36 use Theorem 7.1.1 to find
.