In Problems 43-46 use Problems 41 and 42 and the fact that to find the Laplace transform of the given function.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função . Para isso, vamos usar conceitos de transformada de Laplace e a função gama ( ). A Transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma uma função do tempo para uma função na variável , facilitando muito em resolver equações diferenciais. A gente também vai precisar lembrar que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição da Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função é dada por:
No nosso caso, . Então, substituindo na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos conectar isso com a função gama. A função gama é definida como:
Perceba que nossa integral da Transformada de Laplace se parece com a definição da função gama, mas com algumas diferenças. Para alinharmos isso, vamos fazer uma substituição.

Passo 4

Vamos fazer a substituição . Assim, e . Substituindo na integral:
Simplificando os termos de :

Passo 5

A integral que sobrhou é exatamente a definição da função gama para :
Sabemos que:
Esse resultado pode ser derivado usando propriedades da função gama, mas para simplificar, vamos usar esse valor diretamente.

Passo 6

Agora, substituímos o valor de na expressão da transformada:

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

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