In Problems 43-46 use Problems 41 and 42 and the fact that
to find the Laplace transform of the given function.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função
. Para isso, vamos usar conceitos de transformada de Laplace e a função gama (
). A Transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma uma função do tempo
para uma função na variável
, facilitando muito em resolver equações diferenciais. A gente também vai precisar lembrar que
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição da Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função
é dada por:
No nosso caso,
. Então, substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos conectar isso com a função gama. A função gama é definida como:
Perceba que nossa integral da Transformada de Laplace se parece com a definição da função gama, mas com algumas diferenças. Para alinharmos isso, vamos fazer uma substituição.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Assim,
e
. Substituindo na integral:
Simplificando os termos de
:
Passo 5
A integral que sobrhou é exatamente a definição da função gama para
:
Sabemos que:
Esse resultado pode ser derivado usando propriedades da função gama, mas para simplificar, vamos usar esse valor diretamente.
Passo 6
Agora, substituímos o valor de
na expressão da transformada:
Resposta
A Transformada de Laplace de
é: