Use Problem 41 and a change of variables to obtain the generalization
of the result in Theorem 7.1.1(b).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente generalizar a transformada de Laplace de
usando uma mudança de variável e um problema anterior (Problem 41). Isso envolve conceitos de transformada de Laplace e funções gama. Vamos precisar entender como aplicar a mudança de variável na transformada de Laplace e usar a função gama para obter a fórmula final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a transformada de Laplace de uma função básica. A transformada de Laplace de
(onde
é um número inteiro não negativo) é dada por:
Aqui,
é o fatorial de
e
é a variável da transformada.
Passo 3
Agora, queremos estender isso para
, onde
pode ser qualquer número real maior que -1. Para isso, usamos a função gama, que generaliza o fatorial para números reais. A função gama é definida por:
Ela satisfaz
para inteiros
, o que faz essa generalização funcionar.
Passo 4
Aplicando a definição da transformada de Laplace e fazendo uma mudança de variável adequada, conseguimos derivar a fórmula geral. Substituindo na expressão da função gama, obtemos:
Isso generaliza o resultado para qualquer
.
Resposta
A transformada de Laplace de
é
Exercícios relacionados
Use part © of Theorem 7.1.1 to show that
, where
and
are real
Make up a function
that is of exponential order but where
is not of exponential order. Make up a function
that is not of exponential order but whose Laplace transform exists.
Suppose that
for
and that
for
. When does
In Problems 1-18 use Definition 7.1.1 to find
.