Use Problem 41 and a change of variables to obtain the generalization
of the result in Theorem 7.1.1(b).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente generalizar a transformada de Laplace de usando uma mudança de variável e um problema anterior (Problem 41). Isso envolve conceitos de transformada de Laplace e funções gama. Vamos precisar entender como aplicar a mudança de variável na transformada de Laplace e usar a função gama para obter a fórmula final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a transformada de Laplace de uma função básica. A transformada de Laplace de (onde é um número inteiro não negativo) é dada por:
Aqui, é o fatorial de e é a variável da transformada.

Passo 3

Agora, queremos estender isso para , onde pode ser qualquer número real maior que -1. Para isso, usamos a função gama, que generaliza o fatorial para números reais. A função gama é definida por:
Ela satisfaz para inteiros , o que faz essa generalização funcionar.

Passo 4

Aplicando a definição da transformada de Laplace e fazendo uma mudança de variável adequada, conseguimos derivar a fórmula geral. Substituindo na expressão da função gama, obtemos:
Isso generaliza o resultado para qualquer .

Resposta

A transformada de Laplace de é

Exercícios relacionados

Use part © of Theorem 7.1.1 to show that , where and are real
Make up a function that is of exponential order but where is not of exponential order. Make up a function that is not of exponential order but whose Laplace transform exists.
Suppose that for and that for . When does
In Problems 1-18 use Definition 7.1.1 to find .